Số nghiệm của phương trình \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) là:
A. 4
B. 2
C. 3
D. 1
Áp dụng các công thức giải phương trình lượng giác cơ bản rồi kết hợp điều kiện đã cho để chọn nghiệm thỏa mãn.
Ta có \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{3} = \pi + \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
+) Trường hợp 1: \(x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3} \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow 0 < - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{1}{3} < k < \frac{{13}}{{12}}\).
Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1\). Suy ra trường hợp này có nghiệm \(x = \frac{{4\pi }}{9}\) thỏa mãn.
+) Trường hợp 2: \(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < k < \frac{1}{4}\).
Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0\). Suy ra trường hợp này có nghiệm \(x = \frac{\pi }{3}\) thỏa mãn.
Vậy phương trình chỉ có \(2\) nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Đáp án B
