Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD. Với mỗi tam giác OAB, OBC, OCD, ODA, xét giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó. Tại sao bốn điểm vừa vẽ là bốn đỉnh của một hình thoi?
Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình thoi để chứng minh: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
Gọi P, Q lần lượt là giao điểm ba đường phân giác của tam giác OAB, OCD thì O, P, Q cùng nằm trên đường phân giác của góc AOB.
Do ABCD là hình bình hành nên
+ OB=OD
+ AB//CD, AD//BC
Suy ra: ^ODC=^OBA;^OCD=^OAB (so le trong)
Mà DQ, BP lần lượt là tia phân giác của góc ODC và góc OBA nên ^OBP=^ODQ
Tam giác OBP và tam giác ODQ có:
^OBP=^ODQ, OB=OD, ^BOP=^QOD (đối đỉnh)
Do đó, ΔOBP=ΔODQ(g−c−g)
Suy ra OP=OQ hay O là trung điểm của PQ.
Gọi R, S lần lượt là giao điểm ba đường phân giác của tam giác OAD, OBC.
Chứng minh tương tự, ta có O là trung điểm của RS, đường thẳng RS là đường phân giác của góc AOD.
Ta có: ^AOB+^AOD=1800
Nên ^POA+^ROA=900 hay PQ⊥RS tại O.
Tứ giác PSQR có: O là trung điểm của PQ, O là trung điểm của RS nên PSQR là hình bình hành.
Mà PQ⊥RS tại O. Do đó, PSQR là hình thoi.
Các bài tập cùng chuyên đề
Hãy viết giả thiết, kết luận của câu c trong Định lí 2.
Trong Hình 3.51, hình nào là hình thoi? Vì sao?
Cho ABCD là một hình bình hành. Giải thích tại sao tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau trong mỗi trường hợp sau:
Trường hợp 1: AB=AD
Trường hợp 2: AC vuông góc với BD
Trường hợp 3: AC là phân giác góc BAD
Trường hợp 4: BD là phân giác góc ABC
Quan sát hình 21. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình thoi.
a) Cho hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AB và BC bằng nhau. ABCD có phải là hình thoi hay không?
b) Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau (hình 60)
- Đường thẳng AC có phải là đường trung trực của đoạn thẳng BD hay không?
ABCD có phải là hình thoi hay không?
Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Chứng minh tứ giác ABNC là hình thoi.
Cho hình bình hành ABCD có tia AC là tia phân giác của góc DAB. Chứng minh ABCD là hình thoi.
Cho hình chữ nhật ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.
Tứ giác nào trong Hình 3.72 là hình thoi?
Hình 3.73 cho ta hình ảnh của một chiếc thang nâng thủy lực với khung nâng được lắp đặt từ các thanh giàn bằng nhau, gắn với nhau ở hai đầu và trung điểm mỗi thanh.
a) Tứ giác CKDM và tứ giác ABCD là hình gì?
b) Vì sao các đường thẳng AB,CD,EF và GH luôn song song với nhau? Vì sao các điểm I,K,M,N,O luôn thẳng hàng?
c) Tính chiều cao OI của thang khi AB=1,6m và AD=2m
Trong Hình 3.74, tứ giác nào là hình thoi?
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm N. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AN cắt đường thẳng CD tại Q. Gọi I là trung điểm của NQ. Gọi M là giao điểm AI và CD. Qua N dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại P. Chứng minh rằng:
a) ∆PIN = ∆MIQ.
b) Tứ giác MNPQ là hình thoi.
Chứng minh hình bình hành có hai đường cao xuất phát từ một đỉnh bằng nhau là một hình thoi.
Trong các câu sau, câu nào đúng?
A. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình thoi.
B. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
C. Hình thang có các đường chéo bằng nhau là hình thoi.
D. Hình bình hành có các đường chéo vuông góc là hình thoi.
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD,CE. Tia phân giác của các góc ACE,ABD cắt nhau tại O và cắt AB,AC lần lượt tại M,N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:
a) BN⊥CM
b) Tứ giác MNHK là hình thoi.
Cho ΔABC cân tại A đường trung tuyến AH. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AC và AB. Gọi E là điểm sao cho I là trung điểm của HE. Giải thích tại sao tứ giác AKHI là hình thoi.
Khẳng định nào sau đây là sai?
Khẳng định nào sau đây là sai?
Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB và MD∥AC, M′ là điểm đối xứng với M qua D. Tứ giác AMBM′ là hình gì?
Cho hình thang cân MNPQ. Gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm thuộc các cạnh MN, NP, PQ, QM và AD=12QN, BC=12QN, AB=12MP, DC=12MP. Tứ giác ABCD là hình gì?
Cho hình thang ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA và MN∥AC, MN=12AC, PQ∥AC, PQ=12AC, MQ=12BD. Hình thang ABCD có thêm điều kiện nào dưới đây thì MNPQ là hình thoi?
Cho hình thoi ABCD. Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE=DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm của AE, AF với đường chéo DB. Tứ giác AGCH là hình gì?
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AD,BC. Các đường BE,DF cắt AC tại P,Q. Tứ giác EPFQ là hình thoi nếu ^ACD bằng