Cho tam giác ABC không vuông tại A. Dựng bên ngoài tam giác đó hai tam giác ABD, ACE vuông cân tại đỉnh A rồi dựng hình bình hành AEID.
a) Chứng minh hai tam giác ABC và DAI bằng nhau.
b) Chứng minh đường thẳng AI vuông góc với BC.
c) Chứng minh đường thẳng BE vuông góc với đường thẳng CD.
d) Gọi K là trung điểm của BD, chứng minh \(KC = KI\) và KC vuông góc với KI
(Gợi ý: Chứng minh hai tam giác AKI và BKC bằng nhau).
Sử dụng kiến thức về tính chất hình bình hành để chứng minh: Hình bình hành có các cạnh đối bằng nhau và song song.
a) Vì AEID là hình bình hành nên \(\widehat {ADI} + \widehat {DAE} = {180^0}\) (hai góc kề một cạnh của hình bình hành)
Ta có: \(\widehat {DAE} + \widehat {DAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAE} = {360^0}\)
Mà tam giác ABD vuông tại A, tam giác ACE vuông tại A nên \(\widehat {BAC} + \widehat {DAE} = {360^0} - {90^0} - {90^0} = {180^0}\)
Do đó, \(\widehat {ADI} = \widehat {BAC}\)
Tam giác ABD vuông cân tại A nên \(AB = AD\)
Tam giác ACE vuông cân tại A nên \(AC = AE\)
Vì AEID là hình bình hành nên \(AE = DI\), do đó \(DI = AC\)
Tam giác ADI và tam giác BAC có:
\(AB = AD\)(cmt), \(\widehat {ADI} = \widehat {BAC}\) (cmt), \(DI = AC\) (cmt)
Do đó, \(\Delta ADI = \Delta BAC\left( {c - g - c} \right)\)
b) Giả sử AI cắt BC ở H.
Ta có: \(\widehat {DAI} + \widehat {DAB} + \widehat {BAH} = {180^0}\), mà \(\widehat {DAB} = {90^0}\) (do tam giác DAB vuông cân tại A). Suy ra \(\widehat {DAI} + \widehat {BAH} = {90^0}\)
Mà \(\widehat {DAI} = \widehat {ABC}\) (do \(\Delta ADI = \Delta BAC\)) nên \(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = {90^0}\)
Tam giác ABH có: \(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} + \widehat {AHB} = {180^0}\) nên \(\widehat {AHB} = {180^0} - \left( {\widehat {ABH} + \widehat {BAH}} \right) = {90^0}\)
Do đó, AI vuông góc với BC tại H.
c) Ta có: \(\widehat {BAE} = \widehat {BAC} + \widehat {CAE} = \widehat {BAC} + {90^0}\)
\(\widehat {DAC} = \widehat {BAC} + \widehat {BAD} = \widehat {BAC} + {90^0}\)
Do đó, \(\widehat {BAE} = \widehat {DAC}\)
Tam giác BAE và tam giác DAC có:
\(AB = AD\left( {cmt} \right),\widehat {BAE} = \widehat {DAC}\left( {cmt} \right),AE = AC\left( {cmt} \right)\)
Do đó, \(\Delta BAE = \Delta DAC\left( {c - g - c} \right)\), suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {CDA}\)
Gọi J là giao điểm của DC và BE, ta có: \(\widehat {JBA} = \widehat {JDA}\)
Gọi P là giao điểm của AB và CD.
Tam giác ADP vuông tại A nên \(\widehat {PDA} + \widehat {DPA} = {90^0}\)
Mà \(\widehat {PDA} = \widehat {JBP},\widehat {DPA} = \widehat {BPJ}\) (đối đỉnh)
Do đó, \(\widehat {JBP} + \widehat {BPJ} = {90^0}\), suy ra \(\widehat {BJP} = {90^0}\) hay BE vuông góc với đường thẳng CD.
d) Tam giác ABD vuông cân tại A nên AK vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường phân giác. Do đó, \(\widehat {DAK} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = {45^0}\)
Khi đó, \(\widehat {ABK} = \widehat {BAK} = {45^0}\) nên tam giác ABK vuông cân tại K, do đó, \(KA = KB\)
Ta có: \(\widehat {KAI} = \widehat {DAK} + \widehat {DAI} = {45^0} + \widehat {DAI} = {45^0} + \widehat {ABC}\)
Mặt khác \(\widehat {KBC} = \widehat {ABK} + \widehat {ABC} = {45^0} + \widehat {ABC}\)
Do đó, \(\widehat {KAI} = \widehat {KBC}\)
Tam giác AKI và tam giác BKC có:
\(AK = BK,\widehat {KAI} = \widehat {KBC},AI = BC\) (do \(\Delta ADI = \Delta BAC\))
Suy ra \(\Delta AKI = \Delta BKC\left( {c - g - c} \right)\) nên \(KI = KC\); \(\widehat {AKI} = \widehat {BKC}\)
Ta có: \(\widehat {AKC} + \widehat {BKC} = {90^0}\), mà \(\widehat {AKI} = \widehat {BKC}\) nên \(\widehat {AKC} + \widehat {AKI} = {90^0}\) hay \(\widehat {IKC} = {90^0}\) nên KC vuông góc với KI.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hình bình hành ABCD (H.3.30).
a) Chứng minh ∆ABC = ∆CDA.
Từ đó suy ra AB = CD, AD = BC và \(\widehat {ABC} = \widehat {C{\rm{D}}A}\)
b) Chứng minh ∆ABD = ∆CDB. Từ đó suy ra \(\widehat {DAB} = \widehat {BC{\rm{D}}}\)
c) Gọi giao điểm của hai đường chéo AC, BD là O. Chứng minh ∆AOB = ∆COD. Từ đó suy ra OA = OC, OB = OD.
Cho tam giác ABC. Từ một điểm M tùy ý trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt cạnh AC tại N và kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại P. Gọi I là trung điểm của đoạn NP. Chứng minh rằng I cũng là trung điểm của đoạn thẳng AM.
Tròn khẳng định: Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau. Ngược lại, hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thì nó là hình thang cân.
Vuông lại cho rằng: Tròn sai rồi!
Có trường hợp hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng nó lại là hình bình hành mà không phải là hình thang cân.
Theo em, bạn nào đúng? Vì sao?
Hãy nêu các tính chất của hình bình hành mà em đã biết.
Tính các góc còn lại của hình bình hành ABCD trong Hình 3.35.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh BF = DE.
Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh CD sao cho AM = CN. Chứng minh rằng:
a) AN = CM;
b) \(\widehat {AMC} = \widehat {ANC}\)
Cho hình bình hành ABCD có AB = 3 cm, AD = 5 cm.
a) Hỏi tia phân giác của góc A cắt cạnh CD hay cạnh BC?
b) Tính khoảng cách từ giao điểm đó đến điểm C.
Một khung tre hình chữ nhật có lắp đinh vít tại bốn đỉnh. Khi khung tre này bị xô lệch (do các đinh vít bị lỏng), các góc không còn vuông nữa thì khung đó là hình gì? Tại sao? Hỏi khi nẹp thêm một đường chéo vào khung đó thì nó còn bị xô lệch không?
Cho hình bình hành \(PQRS\) với \(I\) là giao điểm của hai đường chéo (Hình 4). Hãy chỉ ra các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau có trong hình.
Mắt lưới của một lưới bóng chuyền có dạng hình tứ giác có các cạnh đối song song. Cho biết độ dài hai cạnh của tứ giác này là 4cm và 5cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại.
Mặt trước của một công trình xây dựng được làm bằng kính có dạng hình bình hành \(EFGH\) với \(M\) là giao điểm của hai đường chéo (Hình 6). Cho biết \(EF = 40\)m, \(EM = 36\)m, \(HM = 16\)m. Tính độ dài cạnh \(HG\) và độ dài hai đường chéo.
Quan sát Hình 10, cho biết \(ABCD\) và \(AKCD\) đều là hình bình hành. Chứng minh ba đoạn thẳng \(AC\), \(BD\) và \(HK\) có cùng trung điểm \(O\).
Trong thiết kế tay vịn cầu thang (Hình 34), người ta thường để các cặp thanh sườn song song với nhau, các cặp thanh trụ song song với nhau, tạo nên các hình bình hành?
Hình bình hành có những tính chất gì? Có những dấu hiệu nào để nhận biết một tứ giác là hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD (Hình 37).
a) Hai tam giác ABD và CDB có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp đoạn thẳng: AB và CD; DA và BC.
b) So sánh các cặp góc: \(\widehat {DAB}\) và \(\widehat {BCD}\); \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {CDA}\).
c) Hai tam giác OAB và OCD có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp đoạn thẳng: OA và OC; OB và OD.
Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat A = {80^o};AB = 4cm;BC = 5cm\). Tính số đo mỗi góc và độ dài các cạnh còn lại của hình bình hành ABCD.
Cho hai hình bình hành ABCD và ABMN (Hình 42). Chứng minh:
a) CD = MN
b) \(\widehat {BC{\rm{D}}} + \widehat {BMN} = \widehat {DAN}\)
Cho hình bình hành MNPQ có các góc khác 90o, MP cắt NQ tại I. Khi đó:
A. IM = IN
B. IM = IP
C. IM = IQ
D. IM = MP
Cắt hình bình hành ABCD theo đường chéo AC và xếp chồng tam giác CDA lên tam giác ABC như nhình 3.28. Em hãy nhận xét về cạnh và góc của hai tam giác.
Sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song, em hãy cho biết vì sao \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\) và \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{C_2}}\), từ đó giải thích vì sao \(\Delta ABC = \Delta CDA?\) Em có kết luận gì về độ dài các cặp cạnh \(AB\) và \(CD,\)\(BC\)và \(AD\), số đo cặp góc \(\widehat B\) và \(\widehat D?\)
Cắt hình bình hành ABCD theo đường chéo AC, BD và xếp chồng tam giác OAD lên tam giác OCB như Hình 3.29. Em có nhận xét gì về cạnh và góc của hai tam giác?
Trong hình 3.32, MONP là hình bình hành có MO và NP cắt nhau tại I và \(IN = 3cm,IO = 4cm,ON = 6cm.\) Tìm độ dài cạnh MP và đường chéo MO, NP.
Hình bình hành ABCD có \(\widehat A = 35^\circ \). Tính số đo các góc còn lại của hình bình hành đó.
Hãy chọn câu sai.
A. Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
B. Hình bình hành có hai góc đối bằng nhau.
C. Hình bình hành có các cạnh đối song song và bằng nhau.
D. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat A = 120^\circ .\) Khi đó:
A. \(\widehat B = 120^\circ ,\widehat C = 60^\circ ,\widehat D = 120^\circ .\)
B. AB // DC, AB = BC.
C. \(\widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 120^\circ ,\widehat D = 60^\circ .\)
D. \(\widehat B = \widehat D = 60^\circ ,\widehat C = 60^\circ .\)
Tính các góc còn lại của hình bình hành ABCD trong Hình 3.19.
Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua O, vẽ một đường thẳng cắt AB và CD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng O là trung điểm của MN.
Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD, lần lượt lấy các điểm M và N sao cho \(AM = CN\). Gọi O là giao điểm của MN và AC. Chứng minh rằng ba điểm B, O, D thẳng hàng.
Cho hình bình hành ABCD. Vẽ hình bình hành AECF \(\left( {E \in AB,F \in CD} \right)\). Chứng minh rằng ba đường thẳng EF, AC, BD đồng quy.
Cho hình bình hành ABCD có AB = 3 cm, AD = 5 cm.
a) Hỏi tia phân giác của góc A cắt cạnh CD hay cạnh BC?
b) Tính khoảng cách từ giao điểm đó đến điểm C.
Cho hình bình hành ABCD với góc A tù. Dựng bên ngoài hình bình hành đó các tam giác đều ABE và DAF. Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.
(Gợi ý: Chứng minh các tam giác AEF, DCF, BEC bằng nhau)
