Đố vui. Chu vi Trái Đất bằng bao nhiêu?
Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Eratosthenes (Ơ-ra-tô-xten), một nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp, đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất (chu vi của đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:
1. Hồi đó, hằng năm cứ vào trưa ngày Hạ Chí (21/6), người ta thấy tia sáng mặt trời chiếu thẳng xuống đáy một giếng sâu nổi tiếng ở thành phố Syene (Xy-en), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.
2. Cũng vào trưa một ngày Hạ chí, ở thành phố Alexandria (A-lếch-xăng-đri-a) cách Syene 800 km, Eratosthenes thấy 1 tháp cao 25 m có bóng trên mặt đất dài 3,1 m.
Từ hai quan sát trên, ông có thể tính xấp xỉ “chu vi” của Trái Đất như thế nào? (trên Hình 4.46, điểm O là tâm của Trái Đất, điểm S tượng trưng cho thành phố Syene, điểm A tượng trưng cho thành phố Alexandria, điểm H là đỉnh của tháp, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB).
+ Vì đường thẳng vuông góc mặt đất thì đi qua tâm O nên theo giả thiết, tia sáng mặt trời song song với OS, do đó BH song song với OS, suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AOS}\).
+ Vì \(AH = 25m\) khá bé so với R, Earthostene coi cung tròn AB của (C) là một đoạn thẳng \(AB = 3,1m\) vuông góc với AH tạo thành tam giác BAH vuông tại A, ta có \(\tan \widehat {AHB} = \frac{{AB}}{{AH}}\) nên tính được góc SOA.
+ Vì độ dài cung tròn MN tùy ý trên đường tròn tâm O tỉ lệ thuận với số đo góc ở tâm \(\widehat {MON}\), mà độ dài cung AS bằng 800km ứng với góc ở tâm \(\widehat {AOS} \approx {7^o}\) nên toàn bộ đường tròn (C) ứng với góc ở tâm \({360^o}\) có độ dài xấp xỉ bằng \(\frac{{360}}{7}.800\).
Trên Hình 4.47 đường tròn (C) với O là tâm Trái Đất, đi qua S (Syene), A (Alexandria), \(OS = OA = R\) (R là bán kính của đường tròn (C)).
Theo giả thiết, cung tròn (nhỏ) SA của (C) dài 800km.
Gọi H là đỉnh tháp, chân tại A thì A nằm giữa O và H, \(AH = 25m\). Bóng của tháp là cung tròn AB của (C).
Vì đường thẳng vuông góc mặt đất thì đi qua tâm O nên theo giả thiết, tia sáng mặt trời song song với OS, do đó BH song song với OS, suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AOS}\).
Vì \(AH = 25m\) khá bé so với R, Earthostene coi cung tròn AB của (C) là một đoạn thẳng \(AB = 3,1m\) vuông góc với AH tạo thành tam giác BAH vuông tại A, ta có \(\tan \widehat {AHB} = \frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{3,1}}{{25}} = \frac{{31}}{{250}}\)
Suy ra \(\tan \widehat {AOS} = \frac{{31}}{{250}}\) nên \(\widehat {AOS} \approx {7^o}\)
Vì độ dài cung tròn MN tùy ý trên đường tròn tâm O tỉ lệ thuận với số đo góc ở tâm \(\widehat {MON}\), mà độ dài cung AS bằng 800km ứng với góc ở tâm \(\widehat {AOS} \approx {7^o}\) nên toàn bộ đường tròn (C) ứng với góc ở tâm \({360^o}\) có độ dài xấp xỉ bằng \(\frac{{360}}{7}.800 \approx 41\;143\left( {km} \right)\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Xét góc C của tam giác ABC vuông tại A (H.4.3) . Hãy chỉ ra cạnh đối và cạnh kề của góc C.
Cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác A’B’C’ vuông tại A’ có \(\widehat B = \widehat {B'} = \alpha .\) Chứng minh rằng:
a) \(\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C';\)
b) \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{A'C'}}{{B'C'}};\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A'B'}}{{B'C'}};\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{A'B'}};\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A'B'}}{{A'C'}}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác sin, cosin, tang, cotang của các góc nhọn B và C khi biết:
a) AB = 8 cm, BC = 17 cm;
b) AC = 0,9 cm, AB = 1,2 cm.
Trong Hình 4.32, \(\cos \alpha \) bằng
A. \(\frac{5}{3}.\)
B. \(\frac{3}{4}.\)
C. \(\frac{3}{5}.\)
D. \(\frac{4}{5}.\)
Trong tam giác MNP vuông tại M (H.4.33), \(\sin \widehat {MNP}\) bằng:
A. \(\frac{{PN}}{{MN}}\)
B. \(\frac{{MP}}{{PN}}\)
C. \(\frac{{MN}}{{PN}}\)
D. \(\frac{{MN}}{{MP}}\)
Trong tam giác ABC vuông tại A (H.4.34), \(\tan \widehat B\) bằng
A. \(\frac{{AB}}{{AC}}\).
B. \(\frac{{AC}}{{AB}}\).
C. \(\frac{{AB}}{{BC}}\).
D. \(\frac{{BC}}{{AC}}\).
Hình 4.35 là mô hình của một túp lều. Tìm góc \(\alpha \) giữa cạnh mái lều và mặt đất (làm tròn kết quả đến phút).
Cho tam giác ABC vuông tại A, có \(\widehat B = \alpha \) (H.4.37).
a) Hãy viết các tỉ số lượng giác \(\sin \alpha ;\cos \alpha \)
b) Sử dụng định lý Pythagore, chứng minh rằng \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
Cho góc nhọn \(\widehat {mOn} = \alpha \). Lấy hai điểm A và A’ trên On, kẻ hai đường thẳng qua A và A’ vuông góc với On và cắt Om lần lượt tại B và B’.
a) Có nhận xét gì về hai tam giác OAB và OA’B’?
b) So sánh các cặp tỉ số?
\(\frac{{AB}}{{OA}}\) và \(\frac{{A'B'}}{{OA'}}\); \(\frac{{AB}}{{OB}}\) và \(\frac{{A'B'}}{{OB'}}\); \(\frac{{OA}}{{OB}}\) và \(\frac{{OA'}}{{OB'}}\).
Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn A trong mỗi tam giác vuông ABC có \(\widehat B = {90^o}\) ở Hình 5 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Sử dụng tỉ số lượng giác để giải thích tình huống trong Hoạt động khởi động (Trang 60).
Tại một thời điểm, khi những tia nắng chiếu, cây và bóng tạo thành các tam giác vuông như hình bên. Với \(\widehat C = \widehat {C'}\) , so sánh các tỉ số \(\frac{{AB}}{{AC}}\) và \(\frac{{A'B'}}{{A'C'}}\) .
a) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông bằng a (Hình 6a). Tính độ dài cạnh huyền BC theo a, rồi tính các tỉ số lượng giác của góc 45o .
b) Cho tam giác đều MNP có cạnh bằng a (Hình 6b). Tính độ dài đường cao MH theo a, rồi tính các tỉ số lượng giác của góc 30o và góc 60o .
Tính giá trị biểu thức sau:
a) A = \(\frac{{2\cos {{45}^o}}}{{\sqrt 2 }} + \sqrt 3 \tan {30^o}\)
b) B = \(\frac{{2\sin {{60}^o}}}{{\sqrt 3 }} - \cot {45^o}\)
Tính chiều cao của tháp canh trong Hình 7 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 8 cm, AC = 6 cm. Tỉ số lượng giác tan C (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là
A. 0,87
B. 0,86
C. 0,88
D. 0,89
Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{\sin B}}{{\sin C}}\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat B = \alpha \) (Hình 2).
a) Cạnh góc vuông nào là cạnh đối của góc \(B\)?
b) Cạnh góc vuông nào là cạnh kề của góc \(B\)?
c) Cạnh nào là cạnh huyền?
Cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(M,MN = 3cm,MP = 4cm\). Tính độ dài cạnh \(NP\) và các tỉ số lượng giác của góc \(P\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 4cm,BC = 6cm\). Tính các tỉ số lượng giác của góc \(B\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 2cm,AC = 3cm\). Tính các tỉ số lượng giác của góc \(C\).
Cho tam giác \(MNP\) có \(MN = 5cm,MP = 12cm,NP = 13cm\). Chứng minh tam giác \(MNP\) vuông tại \(N\). Từ đó, tính các tỉ số lượng giác của góc \(N\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) và \(\widehat B = \alpha \) (Hình 40).
a) Tỉ số \(\frac{{HA}}{{HB}}\) bằng:
A. \(\sin \alpha \).
B. \(\cos \alpha \).
C. \(\tan \alpha \).
D. \(\cot \alpha \).
b) Tỉ số \(\frac{{HA}}{{HC}}\) bằng:
A. \(\sin \alpha \).
B. \(\cos \alpha \).
C. \(\tan \alpha \).
D. \(\cot \alpha \).
c) Tỉ số \(\frac{{HA}}{{AC}}\) bằng:
A. \(\sin \alpha \).
B. \(\cos \alpha \).
C. \(\tan \alpha \).
D. \(\cot \alpha \).
Theo quy chuẩn kĩ thuật quốc gia về xây dựng công trình đảm bảo cho người khuyết tật tiếp cận sử dụng (QCVN 10:2014/BXD), tỉ số giữa chiều cao h và chiều dài theo phương ngang d của dốc cho xe lăn không được lớn hơn \(\frac{1}{{12}}\) như Hình 4.1. Nếu góc nghiêng của một con dốc so với phương ngang là \(\alpha = {5^o}\) thì con dốc đó có đáp ứng được quy chuẩn trên không?
1. Vẽ một góc nhọn có số đo \(\alpha \) bất kì. Chọn một điểm C trên một cạnh và vẽ đường vuông góc CA từ C xuống cạnh còn lại (Hình 4.3). Hãy đo và tính các tỉ số cạnh đối và cạnh huyền, cạnh kề và cạnh huyền, cạnh đối và cạnh kề của góc B trong tam giác ABC.
2. Vẽ thêm một góc nhọn B’ cũng có số đo \(\alpha \) như trên và thực hiện tương tự.
3. Sử dụng dấu hiệu đồng dạng của hai tam giác vuông, hãy giải thích vì sao các cặp tỉ số tương ứng của \(\widehat B\) và \(\widehat {B'}\) bằng nhau.
Tính các tỉ số lượng giác của góc N và góc P trong Hình 4.5.
Tính số đo các góc nhọn của các tam giác vuông ở Hình 4.15.
Làm tròn số đo góc đến độ.
Làm tròn số đo góc đến phút và độ dài đến hàng phần mười của đơn vị đo độ dài được cho.
Tính số đo các góc nhọn của tam giác vuông, biết:
a) Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông là \(\frac{5}{7}\);
b) Tỉ số giữa một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng \(\frac{2}{5}\).
Cho tam giác vuông có góc nhọn \(\alpha \). Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc \(\alpha \) là
A. \(\sin \alpha \).
B. \(\cos \alpha \).
C. \(\tan \alpha \).
D. \(\cot \alpha \).
Tam giác ABC vuông tại A có \(AB = 10cm,BC = 15cm\). Khi đó, sinB bằng
A. \(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{5}\).
C. \(\frac{3}{5}\).
D. \(\frac{5}{3}\).
