Cho \(\sin (a + b) = 2\cos (a - b)\). Chứng minh biểu thức \(M = \frac{1}{{2 - \sin 2a}} + \frac{1}{{2 - \sin 2b}}\) không phụ thuộc vào a,b.

Đặt \(2u = \sin (a + b) = 2\cos (a - b)\).

Dễ thấy \(u \ne  \pm 1\) do \(\left| {2u} \right| = \left| {\sin (a + b)} \right| \le 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}M = \frac{1}{{2 - \sin 2a}} + \frac{1}{{2 - \sin 2b}} = \frac{{2 - \sin 2b + 2 - \sin 2a}}{{\left( {2 - \sin 2a} \right)\left( {2 - \sin 2b} \right)}}\\ = \frac{{4 - \left( {\sin 2a + \sin 2b} \right)}}{{4 - 2\sin 2a - 2\sin 2b + \sin 2a.\sin 2b}}\\ = \frac{{4 - \left( {\sin 2a + \sin 2b} \right)}}{{4 - 2(\sin 2a + \sin 2b) + \sin 2a.\sin 2b}}\end{array}\).

Mà:

\(\sin 2a + \sin 2b = 2\sin \frac{{2a + 2b}}{2}\cos \frac{{2a - 2b}}{2}\)\( = 2\sin \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) = 2.2u.u = 4{u^2}\);

\(\begin{array}{l}\sin 2a.\sin 2b =  - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2a + 2b} \right) - \cos \left( {2a - 2b} \right)} \right]\\ =  - \frac{1}{2}\left[ {1 - 2{{\sin }^2}(a + b) - 2{{\cos }^2}(a - b) + 1} \right]\\ = {\cos ^2}(a + b) + {\sin ^2}(a - b) - 1\\ = {u^2} + {(2u)^2} - 1 = 5{u^2} - 1\end{array}\).

\( \Rightarrow M = \frac{{4 - 4{u^2}}}{{4 - 2.4{u^2} + 5{u^2} - 1}} = \frac{{4 - 4{u^2}}}{{3 - 3{u^2}}} = \frac{4}{3}\).

Vậy \(M = \frac{4}{3}\) không phụ thuộc vào a,b.