Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
a) \({b^2} - {c^2} = a(b.\cos C - c.\cos B)\)
b) \(a = r\left( {\cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right)\)
a) Áp dụng hệ quả của định lí cosin: \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)
b) Áp dụng các công thức tính diện tích:\(S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{{abc}}{{4R}}\)
Định lí sin: \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)
a) Từ định lí cosin, ta suy ra:
\(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow a(b.\cos C - c.\cos B) = ab.\cos C - ac.\cos B)\\ = ab.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} - ac.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\ = \frac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right) - \frac{1}{2}\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2} - {a^2} - {c^2} + {b^2}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {2{b^2} - 2{c^2}} \right) = {b^2} - {c^2}\end{array}\)
b) Ta có: \(S = \frac{1}{2}a.{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a}\)
Mà \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow 2S = \frac{{abc}}{{2R}} \Rightarrow {h_a} = \frac{{bc}}{{2R}}\) (1)
Lại có: Theo định lí sin thì: \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)
\( \Rightarrow \sin B = \frac{b}{{2R}};\sin C = \frac{c}{{2R}}\)
\( \Rightarrow 2R\sin B\sin C = 2R.\frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}} = \frac{{bc}}{{2R}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \({h_a} = 2R\sin B\sin C\)
