Trong Hình 9, cho biết AB = 12, AC = 16; đường tròn (I) tiếp xúc với AH, BC và đường tròn (O); đường tròn (J) tiếp xúc với AH, BC và đường tròn (O). Tính:
a) BC, BH.
b) Bán kính R, R’ của đường tròn (I) và (J).
c) Khoảng cách PQ.
Dựa vào: định lý Pytago để chứng minh.
a) \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {{16}^2}} = 20\).
\(\Delta BHA\backsim \Delta BAC\) suy ra BA2 = BH.BC, suy ra BH = \(\frac{{B{A^2}}}{{BC}} = \frac{{36}}{5}.\)
b) \(OH = OB – BH = 10 - \frac{{36}}{5} = \frac{{14}}{5}.\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác IPO vuông tại P, ta có
IO2 = IP2 + PO2, suy ra (10 – R)2 = R2 + \({\left( {R + \frac{{14}}{5}} \right)^2}\), suy ra R = \(\frac{{16}}{5}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác JQO vuông tại Q, ta có
JO2 = JQ2 + QO2 ,
suy ra (10 – R’)2 = R’2 + \({\left( {R' - \frac{{14}}{5}} \right)^2}\),
suy ra \(R’ = \frac{{24}}{5}\).
c) Ta có PQ = PH + QH = R + R’ = 8.
Các bài tập cùng chuyên đề
Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là
Trên hình 5.33a, ta có OO’ = OA + O’A; trên Hình 5.33b, ta có OO’ = OA. Trong mỗi trường hợp, hãy vẽ hai đường tròn (O; OA) và (O; O’A) và cho biết hai đường tròn đó có mấy điểm chung?
Cho ba điểm thẳng hàng O, A và O’. Với mỗi trường hợp sau, hãy viết hệ thức giữa các độ dài OO’, OA và O’A rồi xét xem hai đường tròn (O; OA) và (O’; O’A) tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài với nhau; vẽ hình để khẳng định dự đoán của mình.
a) Điểm A nằm giữa hai điểm O và O’;
b) Điểm O nằm giữa hai điểm A và O’;
c) Điểm O’ nằm giữa hai điểm A và O.
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường thẳng qua A cắt (O) tại B và cắt (O’) tại C. Chứng minh rằng OB // O’C.
Hình 12 mô tả các ống tròn xếp lên nhau và gợi nên hình ảnh các cặp đường tròn tiếp xúc nhau. Theo em, hai đường tròn tiếp xúc nhau thì chúng có bao nhiêu điểm chung?
Trong Hình 5.21, hai đường tròn (A; 3) và (B; 4) tiếp xúc ngoài nhau. Sử dụng compa và thước thẳng để dựng đường tròn (C; 2) tiếp xúc ngoài với cả hai đường tròn (A) và (B).
Sử dụng compa và thước đo độ dài, hãy vẽ hai đường tròn bán kính lần lượt 5cm và 4cm tiếp xúc nhau.
Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn có đường kính lần lượt là 8cm và 12cm, biết khoảng cách giữa hai tâm của hai đường tròn là 10cm.
Ba đường tròn (A; 2), (B; 10) và (C; 3) đôi một tiếp xúc ngoài nhau như trong Hình 5.23. Chứng minh rằng \(\Delta ABC\) là tam giác vuông.
Hai đường tròn có bán kính lần lượt là 7cm và 8cm. Khoảng cách giữa các tâm của hai đường tròn là 15cm. Vị trí tương đối của hai đường tròn là
A. Cắt nhau.
B. Tiếp xúc trong.
C. Tiếp xúc ngoài.
D. Ngoài nhau.
Nếu hai đường tròn không cắt nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là
Cho hai đường tròn \(\left( {I;7cm} \right)\) và \(\left( {K;5cm} \right)\). Biết \(IK = 2cm\). Quan hệ giữa hai đường tròn là:
Hai đường tròn \(\left( {O;5} \right)\) và \(\left( {O';8} \right)\) có vị trí tương đối với nhau như thế nào biết \(OO' = 12\)
Cho hai đường tròn \(\left( {O;4cm} \right)\)và \(\left( {I;6cm} \right)\). Biết \(OI = 2cm\). Tìm vị trí tương đối của hai đường tròn.
Cho hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ tiếp xúc ngoài tại $A$. Kẻ các đường kính $AOB;AO'C$. Gọi $DE$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $\left( {D \in \left( O \right);E \in \left( {O'} \right)} \right)$. Gọi $M$ là giao điểm của $BD$ và $CE$. Tính diện tích tứ giác $ADME$ biết $\widehat {DOA} = 60^\circ $ và $OA = 6\,cm.$
Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\)tiếp xúc ngoài tại \(A\). Kẻ các đường kính \(AOB;AO'C\). Gọi \(DE\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {D \in \left( O \right);E \in \left( {O'} \right)} \right)\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\). Tính diện tích tứ giác \(ADME\) biết \(\widehat {DOA} = 60^\circ \) và \(OA = 8\,cm\)
Cho hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ tiếp xúc ngoài tại $A$. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $BC,B \in \left( O \right)$ và $C \in (O')$. Tiếp tuyến chung trong tại $A$ cắt tiếp tuyến chung ngoài $BC$ tại $I$. Tính độ dài $BC$ biết $OA = 9cm,O'A = 4cm$.
Cho hai đường tròn (O; 2,5 cm) và (O'; 4,5 cm). Tìm độ dài đoạn thẳng OO' biết hai đường tròn đó tiếp xúc trong.
Cho I là trung điểm của đoạn AB. Xét các đường tròn (I; IB) và (A; AB).
a) Hai đường tròn (I) và (A) nói trên có vị trí tương đối như thế nào?
b) Đường thẳng đi qua B, cắt các đường tròn (I) và (A) lần lượt tại C và D. Hãy so sánh các độ dài BC và CD.
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A, hai điểm \(B \in \left( O \right)\) và \(C \in \left( {O'} \right)\) sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và OB//O’C.
a) Chứng minh góc BAC là góc vuông.
b) Cho biết \(R = 3cm\), \(R' = 1cm\) và BC cắt OO’ tại D. Tính độ dài đoạn OD.
Cho hai đường tròn (O; 3,5 cm) và (O'; 4,5 cm). Tìm độ dài OO’ sao cho hai đường tròn đó tiếp xúc ngoài.
Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn tâm O' đường kính OA.
a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O').
b) Dây AD của đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại C. Chứng minh AC = CD.
Cho đường tròn (O; 3 cm) và (O'; 2 cm) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường thẳng đi qua A cắt (O) và (O') lần lượt tại B và C (B và C khác A).
Trong mỗi hình 8a, 8h, 8c, các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Hình nào có hệ thống bánh răng chuyển động được? Hình nào có hệ thống bánh răng không chuyển động được?
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường thẳng qua A cắt (O) tại B và cắt (O’) tại C. Chứng mỉnh rằng OB//O’C.
