Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ 3 trồng 3 cây, …, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây trồng được là:
A. 79 hàng
B. 78 hàng
C. 80 hàng
D. 77 hàng
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\).
Khi đó: \({S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2}\).
Gọi số cây ở hàng thứ n là \({u_n}\). Ta có: \({u_1} = 1,{u_2} = 2,{u_3} = 3,...,\) và \(S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n} = 3003\).
Nhận thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 1,\) công sai \(d = 1\).
Do đó, \({S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2} = 3003 \Leftrightarrow \frac{{n\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right).1} \right]}}{2} = 3003\).
\( \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 6006 \Leftrightarrow {n^2} + n - 6006 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 77\\n = - 78\left( L \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 77\).
Vậy số hàng cây trồng được là 77 hàng.
Đáp án D
