Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}},\forall n = 2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4; \cdots .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và không bị chặn dưới

B. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới và không bị chặn trên

C. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn

D. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn

Ta có \({u_n} > 0\;\forall n = 2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4; \cdots \) nên \({u_n}\) bị chặn dưới bởi 0.

Mặt khác \(\frac{1}{{{k^2}}} < \frac{1}{{\left( {k - 1} \right)k}}\,\, = \frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{k}\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*},\,k \ge 2} \right)\) nên suy ra:

\({u_n} < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} +  \cdots  + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} +  \cdots  + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1\).

Do đó, dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên. Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Đáp án C