1) Giải các phương trình sau:

a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1\)

b) \(\tan x + \tan 3x = 0\)

2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)

3) Giải phương trình: Giải phương trình \(\sqrt {1 - \sin x}  + \sqrt {1 - \cos x}  = 1\)

1) a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là \(x = \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(\tan x + \tan 3x = 0 \Leftrightarrow \tan 3x =  - \tan x \Leftrightarrow \tan 3x = \tan \left( {\pi  - x} \right) \Leftrightarrow 3x = \pi  - x + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

2) Ta có:  \(y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x + {\cos ^4}x - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)

\( = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = {1^2} - \frac{1}{2}.4{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)\( = 1 - \frac{1}{2}{\left( {2\sin x.\cos x} \right)^2} = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x.\)

Vì \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1\) nên \(0 \le \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le \frac{1}{2}\) vì vậy \(\frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 1\)với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi \({\sin ^2}2x = 0 \Rightarrow \sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = k\pi  \Rightarrow x = k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)

Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{1}{2}\), đạt được khi

\({\sin ^2}2x = 1 \Rightarrow \sin 2x =  \pm 1 \Rightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi  \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)

3) Điều kiện: \(1 - \sin x \ge 0;1 - \cos x \ge 0\)

\(\sqrt {1 - \sin x}  + \sqrt {1 - \cos x}  = 1\)\( \Leftrightarrow 1 - \sin x + 2\sqrt {\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)}  + 1 - \cos x = 1\)

\( \Leftrightarrow 1 - \left( {\sin x + \cos x} \right) + 2\sqrt {1 - \left( {\sin x + \cos x} \right) + \sin x\cos x}  = 0\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = \sin x + \cos x\), điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \), khi đó \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\), thay vào phương trình (1) ta có:

\(1 - t + 2\sqrt {\frac{{{t^2} - 2t + 1}}{2}}  = 0 \Leftrightarrow 1 - t + \sqrt 2 \sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2}}  = 0 \Leftrightarrow 1 - t + \sqrt 2 \left| {t - 1} \right| = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {t - 1} \right| = t - 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\left( {t - 1} \right)^2} = {\left( {t - 1} \right)^2}\\t - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {t - 1} \right)^2} = 0\\t \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 1\) (thỏa mãn điều kiện)

Với \(t = 1\) thì \(\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) (tmđk)

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: \(x = k2\pi ,x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)