Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn \({u_2} = 6,{u_4} = 24\). Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là:
A. 3069
B. 3071
C. 3067
D. 3065
+ Nếu cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định bởi công thức \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\) với \(n \ge 2\)
+ Nếu cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\).
Khi đó, \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 6\\{u_4} = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q = 6\left( 1 \right)\\{u_1}.{q^3} = 24\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Nhận thấy \(q = 0,{u_1} = 0\) không là nghiệm của hệ phương trình trên.
Với \(q \ne 0,{u_1} \ne 0\): Chia vế với vế của (2) cho (1) ta có: \({q^2} = 4 \Leftrightarrow q = 2\) (do các số hạng đều không âm nên \(q > 0\)). Khi đó, \({u_1} = \frac{6}{2} = 3\)
Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: \(S = \frac{{3.\left( {1 - {2^{10}}} \right)}}{{1 - 2}} = 3069\)
Đáp án A
