a) Người ta trồng \(465\) cây trong một khu vườn hình tam giác như sau : Hàng thứ nhất có \(1\) cây, hàng thứ hai có \(2\) cây, hàng thứ ba có \(3\) cây….Số hàng cây trong khu vườn là bao nhiêu ?
b) Cho cấp số nhân \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = \frac{2}{{27}}\\{u_3} = 243{u_8}\end{array} \right.\).Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân.
a) Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\).
Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).
Khi đó : \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hoặc \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\) .
b) Cho một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).
Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).
Khi đó : \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},q \ne 1\).
a) Cách trồng \(465\) cây trong một khu vườn hình tam giác như trên lập thành một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số \({u_n}\) là số cây ở hàng thứ \(n\) và \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 1\).
Tổng số cây trồng được là: \({S_n} = 465\) \( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 465\)\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 930 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 30\\n = - 31\left( l \right)\end{array} \right.\).
Như vậy số hàng cây trong khu vườn là \(30\).
b) Gọi \(q\) là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 243.{u_1}{q^7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{q^5} = \frac{1}{{243}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\{u_1} = 2\end{array} \right.\)
Tổng 10 số hạng đầu của cấp số \({S_{10}} = {u_1}\frac{{{q^{10}} - 1}}{{q - 1}} = 2.\frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}} - 1}}{{\frac{1}{3} - 1}} = 3\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right] = \frac{{59048}}{{19683}}\).
