Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : \(y = 2{\sin ^2}x - \sin x + 2\) với \(x \in \left[ {0;\,\pi } \right]\).

Đặt \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} = t\)với \(x \in \left[ {0\,;\,\pi } \right]\) thì \(t \in \left[ {0\,;\,1} \right]\), hàm số có dạng: \(y = 2{t^2} - t + 2\).

Xét hàm số \(y = 2{t^2} - t + 2\) trên \(\left[ {0\,;\,1} \right]\), hàm số có BBT như sau:

Nhìn vào BBT ta thấy:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(\frac{{15}}{8}\) khi và chỉ khi \(t = \frac{1}{4}\) tức là \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \)\(x = \arcsin \left( {\frac{1}{4}} \right) + k2\pi \) hoặc \(x = \pi - \arcsin \left( {\frac{1}{4}} \right) + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(3\) khi và chỉ khi \(t = 1\) tức là \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} = 1\)\( \Leftrightarrow \)\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).