Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 8\) và biểu thức \(4{u_3} + 2{u_2} - 15{u_1}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \({S_{10}}.\)
A. \({S_{10}} = \frac{{2\left( {{4^{11}} + 1} \right)}}{{{{5.4}^9}}}\)
B. \({S_{10}} = \frac{{2\left( {{4^{10}} - 1} \right)}}{{{{5.4}^8}}}\)
C. \({S_{10}} = \frac{{{2^{10}} - 1}}{{{{3.2}^6}}}\)
D. \({S_{10}} = \frac{{{2^{11}} - 1}}{{{{3.2}^7}}}\)
Cho một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).
Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).
Khi đó : \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},q \ne 1\).
Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân. Khi đó \(4{u_3} + 2{u_2} - 15{u_1} = 2{\left( {4q + 1} \right)^2} - 122 \ge - 122,\forall q.\)
Dấu bằng xảy ra khi \(4q + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow q = - \frac{1}{4}.\)
Suy ra:
\({S_{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = 8.\frac{{1 - {{\left( { - \frac{1}{4}} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{4}} \right)}} = 8.\frac{{1 - \frac{1}{{{4^{10}}}}}}{{\frac{5}{4}}} = 8.\frac{{\frac{{{4^{10}} - 1}}{{{4^{10}}}}}}{{{{5.4}^{ - 1}}}}\)
\( = 8.\frac{{{4^{10}} - 1}}{{{{5.4}^{ - 1}}{{.4}^{10}}}} = 8.\frac{{{4^{10}} - 1}}{{{{5.4}^9}}} = 2.\frac{{{4^{10}} - 1}}{{{{5.4}^8}}}\).
Đáp án B
