a) Cho cấp số cộng \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) có \({u_4} = - 12\); \({u_{14}} = 18\). Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng bao nhiêu ?
b) Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt \(20000\) đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua \(9\) lần liên tiếp và thắng ở lần thứ \(10.\) Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu?
a) Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\).
Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).
Khi đó : \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hoặc \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\) .
b) Cho một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).
Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).
Khi đó : \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},q \ne 1\).
a) Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = - 12\\{u_{14}} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 21\\d = 3\end{array} \right.\).
Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: \({S_{16}} = 16.\left( { - 21} \right) + \frac{{16.15}}{2}.3 = 24\).
b) Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có \({u_1} = 20\,\,000\) và công bội \(q = 2.\)
Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:
\({S_9} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {p^9}} \right)}}{{1 - p}} = 10220000\)
Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ \(10\) là \({u_{10}} = {u_1}.{p^9} = 10240000\)
Ta có \({u_{10}} - {S_9} = 20\,\,000 > 0\) nên du khách thắng 20 000.
