Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : \(y = {\tan ^2}x - \tan x + 1\) với \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{4}} \right]\).
B1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện của ẩn
B2: Lập bảng biến thiên, khảo sát hàm số rồi kết luận
Đặt \(tanx = t\), \(t \in \left[ { - 1\,;\,1} \right]\), hàm số có dạng: \(y = {t^2} - t + 1\).
Xét hàm số \(y = {t^2} - t + 1\) trên \(\left[ { - 1\,;\,1} \right]\) có BBT như sau:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(\frac{3}{4}\) khi và chỉ khi \(t = \frac{1}{2}\) tức \(tanx = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \)\(x = \arctan \left( {\frac{1}{2}} \right) + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(3\) khi và chỉ khi \(t = - 1\) tức là \(tanx = - 1\)\( \Leftrightarrow \)\(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
