Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân, đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\). Biết \({S_2} = 4;\,{S_3} = 13\)và \({u_2} < 0\), giá trị \({S_5}\) bằng
A. \(2\)
B. \(\frac{{181}}{{16}}\)
C. \(\frac{{35}}{{16}}\)
D. \(121\)
Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).
Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).
Khi đó : \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},q \ne 1\).
Gọi \({u_1},q\) lần lượt là số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân cần tìm.
Từ giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{S_2} = 4\\{S_3} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q} \right) = 4\\{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q} \right) = 4\\\left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = \frac{{ - 3}}{4}\end{array} \right.\end{array} \right.\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} < 0\\{u_3} = {S_3} - {S_2} = 9 > 0\end{array} \right. \Rightarrow q = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} < 0\) nên cấp số nhân cần tìm có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 16\\q = - \frac{3}{4}\end{array} \right.\).
Do đó \({S_5} = {u_1}\left( {\frac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}}} \right) = \frac{{181}}{{16}}\).
Đáp án B
