Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) và gọi \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của nó. Biết \({u_{21}} = - 19\) và \({S_{22}} = 0\). Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng đó.
A. \({u_n} = 21 + 2n\)
B. \({u_n} = 21 - 2n\)
C. \({u_n} = 23 - 2n\)
D. \({u_n} = 23 + 2n\)
Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công sai d và số hạng đầu \({u_1}\), giải hệ phương trình này tìm được d và \({u_1}\).
Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là \({u_1}\) và công sai \(d\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_{21}} = - 19\\{S_{22}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{21}} = {u_1} + 20d\\{S_{22}} = 22{u_1} + \frac{{22.21d}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 20d = - 19\\2{u_1} + 21d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 21\\d = - 2\end{array} \right.\).
Khi đó: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 21 - 2\left( {n - 1} \right) = 23 - 2n\).
Đáp án C
Cấp số cộng
+) Công thức số hạng tổng quát:
\(u_n= u_1+ (n – 1)d\), (\(n ≥ 2\), hay \(n\) là số tự nhiên bất kì lớn hơn 1).
Như vậy, công sai còn có thể tính bởi công thức: \(d = \dfrac{u_{n}-u_{1}}{n-1}\).
+) Công thức tính tổng thông qua số hạng đầu, cuối và số số hạng:
\(S_n= \dfrac{n(u_{1}+u_{n})}{2}\), với \(n\in {\mathbb N}^*\).
+) Công thức tính tổng thông qua số hạng đầu, số số hạng và công sai:
\({S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\);
\({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).
