a) Giải phương trình \(\sin \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)
b) Tìm nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};2\pi } \right)\) của phương trình \(\sin \left( {\frac{\pi }{6} + 2x} \right) = - 1\).
c) Giải phương trình sau: \(\cos \,x + \cos \,2x + \cos \,3x = 0\).
a)
- Trường hợp \(\left| m \right| > 1\), phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp \(\left| m \right| \le 1\), tồn tại duy nhất một số \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thỏa mãn \(\sin \alpha = m\). Ta có
\(\sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b) Áp dụng các công thức giải phương trình lượng giác cơ bản rồi kết hợp điều kiện đã cho để chọn nghiệm thỏa mãn.
c) Sử dụng công thức biến tổng thành tính để làm xuất hiện nhân tử chung: \(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\).
a) Ta có: \(\sin \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) đặt \(\sin t = - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)\( \Rightarrow \sin \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin t \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{2} - \frac{\pi }{3} = t + k2\pi }\\{\frac{x}{2} - \frac{\pi }{3} = \pi - t + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{2\pi }}{3} + 2t + k4\pi }\\{x = \frac{{8\pi }}{3} - 2t + k4\pi }\end{array}} \right.\).
b) Ta có: \(\sin \left( {\frac{\pi }{6} + 2x} \right) = - 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{6} + 2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \).
Theo để bài, ta có: \( - \frac{\pi }{4} < - \frac{\pi }{3} + k\pi < 2\pi \Rightarrow k = 1;2 \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{3}.\)
c) Ta có: \(\cos \,x + \cos \,2x + \cos \,3x = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\cos \,\left( {\frac{{x + 3x}}{2}} \right).\cos \,\left( {\frac{{x - 3x}}{2}} \right) + \cos \,2x = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\cos \,2x.\cos \,x + \cos \,2x = 0\)
\( \Leftrightarrow \cos \,2x\left( {2\cos \,x + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \,2x = 0\\\cos \,x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\).
