Sử dụng định nghĩa căn bậc ba, chứng minh rằng \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} = \sqrt 2 + 1\).
Căn bậc ba của số thực a là số thực x thỏa mãn \({x^3} = a\) (kí hiệu là \(\sqrt[3]{a}\)).
Theo định nghĩa, \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}\) là một số thực x thỏa mãn \({x^3} = 7 + 5\sqrt 2 \).
Vì vậy, để chứng minh \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} = \sqrt 2 + 1\) chỉ cần chứng tỏ \({\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^3} = 7 + 5\sqrt 2 \)
Thật vậy áp dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\) ta có:
\({\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^3} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 3{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 3\sqrt 2 + 1 \\= 2\sqrt 2 + 6 + 3\sqrt 2 + 1 = 7 + 5\sqrt 2 \)
Vậy \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} = \sqrt 2 + 1\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Thể tích V của một khối lập phương được tính bởi công thức: \(V = {a^3}\) với a là độ dài cạnh của khối lập phương. Viết công thức tính độ dài cạnh của khối lập phương theo thể tích V của nó.
Mỗi biểu thức sau có phải là một căn thức bậc ba hay không?
a. \(\sqrt[3]{{2{x^2} - 7}}\);
b. \(\sqrt[3]{{\frac{1}{{5x - 4}}}}\);
c. \(\frac{1}{{7x + 1}}\).
Tính giá trị của \(\sqrt[3]{{{x^3}}}\) tại \(x = 3;x = - 2;x = - 10\).
Cho căn thức bậc ba \(\sqrt[3]{{\frac{2}{{x - 1}}}}\). Biểu thức đó có xác định hay không tại mỗi giá trị sau?
a. \(x = 17\).
b. \(x = 1\).
Tìm điều kiện xác định cho mỗi căn thức bậc ba sau:
a. \(\sqrt[3]{{{x^2} + x}}\)
b. \(\sqrt[3]{{\frac{1}{{x - 9}}}}\)
Tìm điều kiện xác định cho mỗi căn thức bậc ba sau:
a. \(\sqrt[3]{{3x + 2}}\)
b. \(\sqrt[3]{{{x^3} - 1}}\)
c. \(\sqrt[3]{{\frac{1}{{2 - x}}}}\)
Tìm công thức tính thể tích V của hình lập phương có cạnh bằng a. Từ đó giải thích vì sao \(a = \sqrt[3]{V}\).
Bán kính r(m) của quỹ đạo của một vệ tinh (giả sử quỹ đạo của vệ tinh là đường tròn) được ước tính bởi công thức \(r = \sqrt[3]{{\frac{{GM{t^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}\), trong đó \(G\left( {N{m^2}/k{g^2}} \right)\) là hằng số hấp dẫn vũ trụ, M(kg) là khối lượng của Trái Đất và t(s) là thời gian để vệ tinh hoàn thành một quỹ đạo (nguồn: http://courses.lumenlearning.com/suny-osuniversityphysics/chapter/13-4-satellite-orbits-and-energy/). Hãy ước tính bán kính của quỹ đạo của vệ tinh có thời gian hoàn thành một quỹ đạo là \(2,{6.10^6}\) giây, biết rằng \(G = \frac{{6,67}}{{{{10}^{11}}}}\left( {N{m^2}/k{g^2}} \right)\) và \(M = 5,{98.10^{24}}\left( {kg} \right)\) (làm tròn kết quả đến hàng nghìn).
Biểu thức \(\sqrt[3]{{{x^3}}}\) bằng biểu thức nào dưới đây?
Biến đổi nào sau đây là đúng?
A. \(\sqrt[3]{{{{\left( {2x - 1} \right)}^3}}} = - \left( {2x - 1} \right)\).
B. \(\sqrt[3]{{{{\left( {2x - 1} \right)}^3}}} = 2x - 1\).
C. \(\sqrt[3]{{{{\left( {2x - 1} \right)}^3}}} = \left| {2x - 1} \right|\).
D. \(\sqrt[3]{{{{\left( {2x - 1} \right)}^3}}} = - \left| {2x - 1} \right|\).
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^3}}}\);
b) \(\sqrt[3]{{{{\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)}^3}}}\);
c) \({\left( {\sqrt[3]{{\sqrt 2 + 1}}} \right)^3}\).
