Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho \(BM = DN = \frac{1}{3}BD\).
a) Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta CND\).
b) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.
c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng \(AM = 2MI\).
d) Gọi K là giao điểm của CN và AD. Chứng minh I và K đối xứng với nhau qua O.
a, c, d) Sử dụng kiến thức về tính chất hình bình hành để chứng minh: Hình bình hành có
+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
+ Hai cạnh đối song song và bằng nhau.
b) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình bình hành để chứng minh: Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
a) Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB = CD\), AB//CD. Do đó, \(\widehat {MBA} = \widehat {NDC}\) (hai góc so le trong)
Tam giác AMB và tam giác CND có:
\(AB = CD\)(cmt), \(\widehat {MBA} = \widehat {NDC}\) (cmt), \(BM = DN\) (gt)
Do đó, \(\Delta AMB = \Delta CND\left( {c - g - c} \right)\)
b) Vì \(\Delta AMB = \Delta CND\) (cmt) nên \(AM = CN\)
Tam giác ABN và tam giác CDM có:
\(AB = CD\)(cmt), \(\widehat {ABN} = \widehat {MDC}\), \(BN = DM\left( { = \frac{2}{3}BD} \right)\)
Suy ra: \(\Delta ABN = \Delta CDM\left( {c - g - c} \right)\) nên \(AN = MC\)
Tứ giác AMCN có: \(AN = MC\) (cmt), \(AM = CN\) (cmt) nên tứ giác AMCN là hình bình hành.
c) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên \(OA = OC\).
Tam giác ABC có: \(OA = OC\), suy ra BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Lại có: \(BM = \frac{1}{3}BD,\;BO = \frac{1}{2}BD\), suy ra \(BM = \frac{2}{3}BO\) do đó M là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó, \(AM = \frac{2}{3}AI,MI = \frac{1}{3}AI\). Vậy \(AM = 2MI\)
d) Vì AMCN là hình bình hành nên AM//CN. Mà \(M \in AI,N \in CK\) suy ra AI//CK (1)
mà AD//BC (do ABCD là hình bình hành) và \(K \in AD,I \in BC\) nên AK//CI (2)
Từ (1) và (2) suy ra AKCI là hình bình hành. Mà O là trung điểm của AC, suy ra O là trung điểm của KI hay I đối xứng với K qua O.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại F (H.3.32).
a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác cân, bằng nhau.
b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao?
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao?
a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.
b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.
c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:
a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành;
b) EF = AD, AF = EC.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua O lần lượt cắt các cạnh AB, CD của hình bình hành tại hai điểm M, N. Chứng minh ∆OAM = ∆OCN. Từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng:
a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành;
b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.
Cho hình bình hành \(ABCD\), kẻ \(AH\) vuông góc với \(BD\) tại \(H\) và \(CK\) vuông góc với \(BD\) tại \(K\) (Hình 20)
a) Chứng minh tứ giác \(AHCK\) là hình bình hành
b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(HK\).Chứng minh \(IB = ID\)
Cho hình bình hành \(ABCD\) (\(AB > BC\)). Tia phân giác của góc \(D\) cắt \(AB\) tại \(E\), tia phân giác của góc \(B\) cắt \(CD\) tại \(F\)
a) Chứng minh \(DE\) // \(BF\)
b) Tứ giác \(DEBF\) là hình gì?
Cho hình bình hành \(ABCD\). Các điểm \(E\), \(F\) thuộc đường chéo \(AC\) sao cho \(AE = EF = FC\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BF\) và \(CD\), \(N\) là giao điểm của \(DE\) và \(AB\). Chứng minh rằng:
a) \(M\), \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(CD\), \(AB\)
b) \(EMFN\) là hình bình hành
Cho tứ giác ABCD có \(\widehat {DAB} = \widehat {BC{\rm{D}}};\widehat {ABC} = \widehat {C{\rm{D}}A}\). Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB. Chứng minh:
a) \(\widehat {ABC} + \widehat {DAB} = {180^o}\)
b) \(\widehat {xA{\rm{D}}} = \widehat {ABC};AC//BC\)
c) Tứ giác ABCD là hình bình hành.
Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A, B ở hai phía của một tòa nhà mà không thể đo trực tiếp được, người ta làm như sau: Chọn các vị trí O, C, D sao cho O không thuộc đường thẳng AB; khoảng cách CD là đo được; O là trung điểm của cả AC và BD (hình 43). Người ta đo được CD = 100 m và khẳng định AB = 100 m. Em hãy giải thích vì sao AB = 100m.
Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phái góc (Hình 44). Bạn Hoa đó bạn Hùng: Không vẽ lại tam giác ABC, làm thế nào tính được độ dài đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB?
Bạn Hùng làm như sau:
- Qua điểm A kẻ đường thẳng d song song với BC; qua điểm B kẻ đường thẳng d’ song song với AC.
- Gọi E là giao điểm của d và d’.
- Đo độ dài các đoạn thẳng AE, BE và đo góc AEB. Từ đó, tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB (hình 45).
Em hãy giải thích cách làm của bạn Hùng.
Trong Hình 3.36, Nam di chuyển thước ê ke dọc theo đường thẳng d sao cho cạnh huyền của thước luôn nằm trên d. Khi đỉnh góc \(60^\circ \) lần lượt ở vị trí điểm \(C\) và \(D.\) Nối hai điểm \(C\) và \(D,\) Nam được một đường thẳng song song với d. Em hãy giải thích vì sao?
Cho ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD và AD. Chứng minh rằng:
a) AMPD là hình bình hành
b) AN song song CQ
c) MNPQ là hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:
a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.
b) EF = AD, AF = EC.
Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Vẽ các đường thẳng d vuông góc với AB tại B, d’ vuông góc với AC tại C, d và d’ cắt nhau tại N. Chứng mình rằng:
a) Tứ giác BHCN là hình bình hành.
b) HN đi qua trung điểm I của đoạn thẳng BC.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và C đến BD.
a) Chứng minh rằng tứ giác AHCK là hình bình hành.
b) Gọi M là giao điểm của AK và BC, N là giao điểm của CH và AD. Chứng minh \(AN = CM.\)
c) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh M, O, N thẳng hàng.
Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OB và OD. Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh CD sao cho AM = CN. Chứng minh rằng:
a) AN = CM.
b) \(\widehat {AMC} = \widehat {ANC}.\)
Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng:
a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành.
b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ đỉnh A, C xuống BD (H.3.28).
Chứng minh rằng:
a) ∆ADH = ∆CBK.
b) Tứ giác AHCK là hình bình hành.
c) AC đi qua trung điểm O của HK.
Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên của hình thang lớn hơn hiệu hai đáy của nó.
Hãy chọn câu sai.
Cho tam giác \(ABC\) và \(H\) là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(B\), vuông góc với \(AC\) tại \(C\) cắt nhau ở \(D\). Biết \(\widehat {BAC} = {50^o}\), số đo góc \(BDC\) là:
Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\); \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AF\), \(EC\), \(BF\), \(DE\) và \(FN = \frac{1}{2}DE;\,FN\parallel DE\); \(EM = \frac{1}{2}BF;\,EM\parallel BF\). Khi đó \(MNPQ\) là hình gì? Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
