Xét hai mệnh đề:
P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”;
Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.
a) Phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và mệnh đề đảo của nó.
b) Hai mệnh đề P và Q có tương đương không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi” để phát biểu định lí \(P \Leftrightarrow Q\) theo hai cách khác nhau.
a)
Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) phát biểu là “Nếu P thì Q”, “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”.
Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) phát biểu là “Nếu Q thì P”
b) Hai mệnh đề P và Q là tương đương nếu cả hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng.
Phát biểu:
“P là điều kiện cần và đủ để có Q” (hoặc “Q là điều kiện cần và đủ để có P”)
Hoặc “P khi và chỉ chi Q”.
a)
Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\): “Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì nó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”
Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\): “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì nó là hình vuông”
b)
Theo dấu hiệu nhận biết hình vuông, hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng. Do đó, P và Q là hai mệnh đề tương đương. Ta có thể phát biểu thành định lí như sau:
“Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần và đủ để nó là hình vuông”
Hoặc “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi nó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”
Các bài tập cùng chuyên đề
Phát biểu điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 2.
Hãy xác định tính đúng sai của mệnh đề sau:
“Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu số đó có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 và ngược lại”.
Cho hai câu sau:
P: “Tam giác ABC là tam giác vuông”;
Q: “Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại”
Hãy phát biểu mệnh đề tương đương \(P \Leftrightarrow Q\) và xét tính đúng sai của mệnh đề này.
Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề:
P: “Tam giác ABC đều”
Q: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”,
Hãy phát biểu hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) và xác định tính đúng sai của mệnh đề đó.
Nếu cả hai mệnh đề trên đều đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.
Cho tam giác ABC. Xét các mệnh đề:
P: “Tam giác ABC cân”.
Q: “Tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.
Phát biểu mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) bằng bốn cách.
Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu lại các định lí sau:
a) Một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.
b) Một hình bình hành là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau và ngược lại.
Cho định lí: “\(\forall x \in \mathbb{R},x \in \mathbb{Z}\) nếu và chỉ nếu \(x + 1 \in \mathbb{Z}\)”.
Phát biểu lại định lí này sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”.
Phát biểu mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) và xét tính đúng sai của chúng:
a) P: “\({x^2} + {y^2} = 0\)”; Q: “\(x = 0\) và \(y = 0\)”.
b) P: “\({x^2} > 0\)”; Q: “\(x > 0\)”.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Tam giác \(ABC\) là tam giác đều \( \Leftrightarrow \) Tam giác \(ABC\) cân.
B. Tam giác \(ABC\) là tam giác đều \( \Leftrightarrow \) Tam giác \(ABC\) có ba góc bằng \({60^ \circ }.\)
C. Tam giác \(ABC\) là tam giác đều \( \Leftrightarrow \) Tam giác \(ABC\) có ba cạnh bằng nhau.
D. Tam giác \(ABC\) là tam giác đều \( \Leftrightarrow \) Tam giác \(ABC\) cân và có một góc \({60^ \circ }.\)
Cho tứ giác ABCD. Xét các mệnh đề:
P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành”, Q: “Tứ giác ABCD có các cạnh đối bằng nhau”.
Hãy phát biểu hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\), sau đó xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề đó. Nếu cả hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\)đều đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.
