Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là \(f > 0\) không đổi. Gọi \(d\) và \(d'\) lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm \(O\) của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức: \(\frac{1}{d} + \frac{1}{{d'}} = \frac{1}{f}\) hay \(d' = \frac{{df}}{{d - f}}\).

Xét hàm số \(g\left( d \right) = \frac{{df}}{{d - f}}\). Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} g\left( d \right)\);        

b) \(\mathop {\lim }\limits_{d \to  + \infty } g\left( d \right)\).

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{9x + 1}}{{3x - 4}};\)           

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{7x - 11}}{{2x + 3}};\)           

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x};\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x};\)              

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \frac{1}{{x - 6}};\)            

g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {7^ + }} \frac{1}{{x - 7}}.\)

Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, tính trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được \(N\left( t \right) = \frac{{50t}}{{t + 4}}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) bộ phận mỗi ngày sau t ngày đào tạo. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } N\left( t \right)\) và cho biết ý nghĩa của kết quả. 

Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: C(x) = 50 000 + 105x. 

a) Tính chi phí trung bình \(\overline C \left( x \right)\) để sản xuất một sản phẩm. 

b) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \overline C \left( x \right)\) và cho biết ý nghĩa của kết quả. 

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}\);                     

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}\);                 

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}\);

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}\);            

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\);           

g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\).

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là \(f\). Gọi \(d\) và \(d'\)  lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh \(A'B'\) của nó tới quang tâm \(O\) của thấu kính như Hình 19. Công thức thấu kính là \(\frac{1}{d} + \frac{1}{{d'}} = \frac{1}{f}\).

a) Tìm biểu thức xác định hàm số \(d' = \varphi (d)\).     

b) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \varphi (d),\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ - }} \varphi (d)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{d \to f} \varphi (d)\). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{1}{{x + 1}}\);              

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {1 - {x^2}} \right)\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{x}{{3 - x}}\).

Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút. 

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau \(t\) phút kể từ khi bắt đầu bơm là \(C\left( t \right) = \frac{{30t}}{{400 + t}}\)(gam/lít).

b) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu \(t \to  + \infty \).

Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {{x^3} - 3x} \right)\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {2x + 5} \);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4 - x}}{{2x + 1}}\).

Tìm giá trị của các tham số a và b, biết rằng:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ax + b}}{{x - 2}} = 5\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a\sqrt x  + b}}{{x - 1}} = 3\).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm \(M\left( {t,{t^2}} \right),t > 0\), nằm trên đường parabol \(y = {x^2}\). Đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt trục tung tại N. Điểm N dần đến điểm nào khi M dần đến điểm O?

Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 3x + a}}{{x - 1}} = b\) với a và b là hai số thực. Giá trị của \(a + b\) bằng

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 5.

Cho điểm M thay đổi trên parabol \(y = {x^2}\); H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H. Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {OM - MH} \right)\)

Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\) \(\left( {L,M \in \mathbb{R}} \right)\). Phát biểu nào sau đây là SAI?

A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\)  

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M\)

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\)                  

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}\)

Quan sát đồ thị hàm số ở hình dưới đây và cho biết các giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right)\).

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( { - 4{x^2} + 3x + 1} \right)\)                   

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{ - 4x + 1}}{{{x^2} - x + 3}}\)

 c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {3{x^2} + 5x + 4} \)                                   

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 3 + \frac{4}{x}}}{{2{x^2} + 3}}\)

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\)                                         

g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{5}{{x + 2}}\)

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 5x + 2}}{{3x + 1}}\)                   

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 2x + 3}}{{3{x^2} + 2x + 5}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}\)                                         

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}\)

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 1}}\)               

g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \frac{{ - {x^2} + 2x + 15}}{{{x^2} + 4x + 3}}\)

Cho số thực \(a\) và hàm số \(f\left( x \right)\) thoả mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) =  - \infty \). Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - 3}}{{2f\left( x \right) + 1}} = \frac{1}{2}\).

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là \(g\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3}\) (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm \({t_1}\), \({t_2}\) là \({V_{tb}} = \frac{{g\left( {{t_2}} \right) - g\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) - g\left( {10} \right)}}{{t - 10}}\) và cho biết ý nghĩa kết quả tìm được.

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 + \frac{4}{{3x}}}}{{{x^2} - 1}}\)                           

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x - 2}}\)                  

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} \frac{{ - 5 + x}}{{x + 3}}\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{14x + 2}}{{ - 7x + 1}}\)                          

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 2{x^2}}}{{3x + 5}}\)           

g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}{{x + 2}}\)

h) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 1}}\)                     

i) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 2}}\)               

k) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{{x^2} + 3x - 18}}\)

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {4x + 1}  - 3}}{{x - 2}};\)                         

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} + {x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}};\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}};\)              

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{x}.\)

Cho \(f(x) = \frac{{{x^2} - x}}{{|x|}}\). Khi đó, giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)\) là

A. 2                     

B. - 1                   

C. 1                     

D. Không tồn tại

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x(x + 1)(2x - 1)}}{{5{x^3} + x + 7}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ({x^3} - 1)(2 - {x^5})\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^2} + {x^2} + 1}} - x} \right)\).

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\sin \frac{1}{x}\).

Cho các giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 2$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 3$, hỏi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {3f\left( x \right) - 4g\left( x \right)} \right]$ bằng