Cho tứ diện ABCD. Lấy \({G_1},{G_2},{G_3}\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.
a) Chứng minh rằng \(({G_1}{G_2}{G_3})//(BCD)\).
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(({G_1}{G_2}{G_3})\) với mặt phẳng \((ABD)\).
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thằng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
a) Gọi M, N, P là trung điểm của BC, CD, BD.
Ta có: \({G_1}\) là trọng tâm tam giác ABC, suy ra\(\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{2}{3}\).
\({G_3}\) là trọng tâm tam giác ABD, suy ra\(\frac{{A{G_3}}}{{AP}} = \frac{2}{3}\).
Suy ra tam giác AMP có\(\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{{A{G_3}}}{{AP}}\) nên \({G_1}{G_3}//MP\).
Mà MP thuộc (BCD) nên \({G_1}{G_3}//(BCD)\).
Tương tự ta có: \({G_2}{G_3}//(BCD)\).
Do đó, \({G_1}{G_2}{G_3}//(BCD)\).
b) 
Ta có: B, D cùng thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) nên \(\left( {ABD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BD\)
Giả sử \(\left( {ABD} \right) \cap \left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right) = d\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)//(BCD)\\(ABD) \cap (BCD) = BD\\(ABD) \cap \left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right) = d\end{array} \right.\)
Suy ra d//BD.
Mà \({G_3} \in ({G_1}{G_2}{G_3})\) nên \({G_3}\) là giao điểm của \(({G_1}{G_2}{G_3})\) và (ABD).
Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng \(({G_1}{G_2}{G_3})\) và (ABD) đi qua \({G_3}\) và song song với BD, cắt AB, AD lần lượt tại I và K.
Vậy \(({G_1}{G_2}{G_3}) \cap (ABD) = IK\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Các mặt bậc thang trong Hình 4.40 gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung. Hãy tìm thêm một số ví dụ khác cũng gợi nên hình ảnh đó.
Nêu ví dụ trong thực tiễn minh họa hình ảnh hai mặt phẳng song song.
Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q).
Nếu (P) và (Q) có một điểm chung thì chúng có bao nhiêu điểm chung? Các điểm chung đó có tính chất gì?
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Chứng minh rằng (AFD) // (BEC)
b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy N là giao điểm của (P) và AC. Tính \(\frac{{AN}}{{NC}}\)
Tìm phẳng song song có trong hình chụp căn phòng ở Hình 4.
Hộp giấy có các mặt là hình vuông ở Hình 1a được vẽ lại với các đỉnh là \(A,B,C,D,A',B',C',D'\) như Hình 1b. Gọi tên cặp mặt phẳng:
a) Có ba điểm chung không thẳng hàng.
b) Là hai mặt phẳng phân biệt và có một điểm chung.
c) Không có bất kì điểm chung nào.
Chỉ ra các mặt phẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các mặt phẳng song song trong thực tế.
