Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) là:

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), đường thẳng \(y = 0\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) là:

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x =  - 1;x =  - 3\) là:

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) =  - x\) và \(g\left( x \right) = {e^x}\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = e\) là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x =  - 1;x = 1$ được xác định bởi công thức:

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = (x - 1){e^x}$, trục hoành, đường thẳng $x = 0$ và $x = 1$

Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),~$trục hoành và hai đường thẳng \(x =  - 1,x = 2\) (như hình vẽ). Đặt $a=\underset{-1}{\overset{0}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx,~b=\underset{0}{\overset{2}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx.$  Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2} - 4\) và \(y = x - 4\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn ${x^2} + {y^2} = 2,y > 0$ và parabol $y = {x^2}$ bằng:

Gọi S  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  $y = {x^3},y = 2 - x$ và $y = 0$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(R\) và thỏa mãn \(f( - 1) > 0 > f(0)\) . Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x),y = 0,x = 1\) và \(x =  - 1\) . Mệnh đề nào sau đây là đúng

Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp nhất trong toán học. Ở đó có mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ $Oxy$ là \(16{y^2} = {x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)\) như hình vẽ bên. Tính diện tích $S$ của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ $Oxy$ tương ứng với chiều dài $1$ mét

Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên thì parabol có phương trình $y = {x^2}$và đường thẳng là $y = 25$. Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua $O$ và điểm $M$ trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm $M$ bằng cách tính độ dài $OM$ để diện tích mảnh vường nhỏ bằng $\dfrac{9}{2}$.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: \(y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|\,\,\,;\,\,y = x + 3\)

Diện tích hình phẳng giới hạn với đường cong \(y = 4 - \left| x \right|\)  và trục hoành $Ox$ là

Gọi $S$ là diện tích của Ban Công của một ngôi nhà có dạng như hình vẽ ($S$ được giới hạn bởi parabol $\left( P \right)$  và trục $Ox$). Giá trị của S là:

Người ta cần trồng hoa tại phần đắt nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ $O$ , bán kính bằng \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng \(2\sqrt 2 \) và độ dài trục nhỏ bằng $2$ (như hình vẽ bên). Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón \(\dfrac{{100}}{{(2\sqrt 2  - 1)\pi }}kg\) phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?

Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ dưới đây. Diện tích $S$ của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi

Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình parabol. Gắn parabol vào hệ trục \(Oxy\) thì nó có đỉnh \(\left( {0;8} \right)\) và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, trong đó có 1 điểm là \(\left( { - 4;0} \right)\). Người ta dự định lắp vào cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào.

Cho parabol $\left( P \right):y = {x^2} + 1$  và đường thẳng $\left( d \right):y = mx + 2$. Biết rằng tồn tại $m$ để diện tích hình phẳng giới hạn bới $\left( P \right)$  và $\left( d \right)$  đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.

Diện tích hai phần \(A\) và \(B\) lần lượt là \(\dfrac{{16}}{3}\) và \(\dfrac{{63}}{4}.\) Tính \(\int\limits_{ - 1}^{\dfrac{3}{2}} {f\left( {2x + 1} \right)dx} \).