Giả sử tích phân \(I = \int\limits_0^4 {x\ln {{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}dx = a + \dfrac{b}{c}\ln 3.} \) Với phân số \(\dfrac{b}{c}\) tối giản. Lúc đó :
-
A.
\(b + c = 127075\)
-
B.
\(b + c = 127073\)
-
C.
\(b + c = 127072\)
-
D.
\(b + c = 127071\)
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{\left( {ax + b} \right)}}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln {(2x + 1)^{2017}}\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{2017.2.{{(2x + 1)}^{2016}}}}{{{{(2x + 1)}^{2017}}}}dx = \dfrac{{4034}}{{2x + 1}}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.$
$\left. {I = \ln {{(2x + 1)}^{2017}}.\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^4 - \int_0^4 {\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{{4034}}{{2x + 1}}dx} $
$= \ln {(2.4 + 1)^{2017}}.\dfrac{{{4^2}}}{2} - 0 - 2017\int_0^4 {\dfrac{{{x^2}}}{{2x + 1}}dx}$
$ = 8\ln {9^{2017}} - 2017\int_0^4 {(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + \dfrac{{\dfrac{1}{4}}}{{2{\rm{x}} + 1}})dx} $
$= 8\ln {9^{2017}} - \dfrac{{2017}}{2}.\left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^4 + \dfrac{{2017}}{4}\left. x \right|_0^4 - \dfrac{{2017}}{4}\int_0^4 {\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{2x + 1}}d(2x + 1)}$
$\begin{array}{l} = 8\ln {9^{2017}} - \dfrac{{2017}}{4}{.4^2} + \dfrac{{2017}}{4}.4 - \dfrac{{2017}}{8}\left. {\ln \left| {2x + 1} \right|} \right|_0^4 \\ = 8\ln {9^{2017}} - 6051 - \dfrac{{2017}}{8}.(\ln 9 - \ln 1)\\ = 8\ln {9^{2017}} - 6051 - \dfrac{{2017}}{8}.\ln 9 = \dfrac{{127071}}{4}.\ln 3 - 6051\end{array}$
$ \Rightarrow b + c = 127075$
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tích phân $I = \int\limits_a^b {f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x} ,$ nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\{\rm{d}}v = g'\left( x \right){\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì
Để tính $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x} $ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt
Cho $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ và thỏa mãn điều kiện $\int\limits_0^1 {g\left( x \right).f'\left( x \right){\rm{d}}x} = 1,\int\limits_0^1 {g'\left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]}^\prime }\,{\rm{d}}x} .$
Cho $F\left( x \right) = {x^2}$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){e^{2x}}$ và $f\left( x \right)$ là hàm số thỏa mãn điều kiện $f\left( 0 \right) = - \,1,\,\,f\left( 1 \right) = 0.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right){e^{2x}}{\rm{d}}x} .$
Cho tích phân $I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{x + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x} = a + b.\ln 2 - c.\ln 3$ với $a,b,c \in R$, tỉ số $\dfrac{c}{a}$ bằng
Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \dfrac{{m - \pi }}{{m + \pi }}$, giá trị của $m$ bằng :
Cho tích phân $I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x} = m.\ln \sqrt 2 + n.\ln 3 - \dfrac{\pi }{4}$, tổng $m + n$
Tích phân: $I = \int\limits_1^e {2x(1 - \ln x)\,dx} $bằng
Tính tích phân $I = \int\limits_1^e {x\ln x{\rm{d}}x} $
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^{{2^{1000}}} {\dfrac{{\ln x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} \)
Biết rằng$\int {{e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c} $, trong đó $a, b, c$ là các hằng số, khi đó tổng $a + b$ có giá trị là:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx} = 10\) và \(2f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)
Cho hàm số \(y = f(x)\)thỏa mãn hệ thức \(\int {f\left( x \right)\sin xdx} = - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}\cos xdx}. \) Hỏi \(y = f\left( x \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau:
Biết rằng \(\int\limits_0^1 {x\cos 2xdx} = \dfrac{1}{4}\left( {a\sin 2 + b\cos 2 + c} \right)\) với \(a,b,c \in Z\). Mệnh đề nào sau đây là đúng
Cho tích phân $I = \int\limits_0^\pi {{x^2}\cos xdx} $ và $u = {x^2};dv = \cos xdx$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ sao cho \(n\ln n - \int_1^n {\ln xdx} \) có giá trị không vượt quá $2017$
Biết \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x.c{\rm{os}}2xdx} = a + b\pi \), với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Tính \(S = a + 2b\).
Biết tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x{e^{2x}}dx} = a{e^2} + b\) ($a,b$ là các số hữu tỉ). Khi đó tổng \(a + b\) là:
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin x} \). Gọi \(a,b\) là các số nguyên thỏa mãn \(I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + a}}{b}\). Chọn kết luận đúng:
Cho \(I = \int\limits_0^1 {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 15} } \right)dx} = a + b\ln 3 + c\ln 5\) với \(a,b,c \in \mathbb{Q}\). Tính tổng \(a + b + c\).
