Cho tích phân $I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{x + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x} = a + b.\ln 2 - c.\ln 3$ với $a,b,c \in R$, tỉ số $\dfrac{c}{a}$ bằng
-
A.
$8.$
-
B.
$9.$
-
C.
$24.$
-
D.
$36.$
- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).
- Trong các tích phân đã xuất hiện dạng vi phân \(f'\left( x \right)dx\) thì ta đặt \(dv = f'\left( x \right)dx\).
- Đồng nhất thức.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x + \ln x\\{\rm{d}}v = \dfrac{{{\rm{d}}x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{{x + 1}}{x}\,{\rm{d}}x\\v = - \dfrac{1}{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\end{array} \right.$.
Khi đó $I = \left. { - \dfrac{{x + \ln x}}{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right|_1^2 + \int\limits_1^2 {\dfrac{{x + 1}}{x}.\dfrac{1}{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} .$
$ = - \dfrac{{2 + \ln 2}}{{18}} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{x\left( {x + 1} \right)}}} = - \dfrac{{2 + \ln 2}}{{18}} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x} .$
$\begin{array}{l} = - \dfrac{{2 + \ln 2}}{{18}} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2}\left. {\left( {\ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^2\\ = \dfrac{1}{{72}} - \dfrac{1}{{18}}\ln 2 + \dfrac{1}{2}\left( {\ln 2 - \ln 3 + \ln 2} \right)\\ = \dfrac{1}{{72}} + \dfrac{{17}}{{18}}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\ln 3 = a + b.\ln 2 - c.\ln 3.\end{array}$
Vậy $\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{{72}}\\b = \dfrac{{17}}{{18}}\\c = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \,\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{{72}} = 36.$
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tích phân $I = \int\limits_a^b {f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x} ,$ nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\{\rm{d}}v = g'\left( x \right){\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì
Để tính $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x} $ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt
Cho $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ và thỏa mãn điều kiện $\int\limits_0^1 {g\left( x \right).f'\left( x \right){\rm{d}}x} = 1,\int\limits_0^1 {g'\left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]}^\prime }\,{\rm{d}}x} .$
Cho $F\left( x \right) = {x^2}$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){e^{2x}}$ và $f\left( x \right)$ là hàm số thỏa mãn điều kiện $f\left( 0 \right) = - \,1,\,\,f\left( 1 \right) = 0.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right){e^{2x}}{\rm{d}}x} .$
Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \dfrac{{m - \pi }}{{m + \pi }}$, giá trị của $m$ bằng :
Cho tích phân $I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x} = m.\ln \sqrt 2 + n.\ln 3 - \dfrac{\pi }{4}$, tổng $m + n$
Tích phân: $I = \int\limits_1^e {2x(1 - \ln x)\,dx} $bằng
Tính tích phân $I = \int\limits_1^e {x\ln x{\rm{d}}x} $
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^{{2^{1000}}} {\dfrac{{\ln x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} \)
Biết rằng$\int {{e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c} $, trong đó $a, b, c$ là các hằng số, khi đó tổng $a + b$ có giá trị là:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx} = 10\) và \(2f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)
Cho hàm số \(y = f(x)\)thỏa mãn hệ thức \(\int {f\left( x \right)\sin xdx} = - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}\cos xdx}. \) Hỏi \(y = f\left( x \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau:
Biết rằng \(\int\limits_0^1 {x\cos 2xdx} = \dfrac{1}{4}\left( {a\sin 2 + b\cos 2 + c} \right)\) với \(a,b,c \in Z\). Mệnh đề nào sau đây là đúng
Cho tích phân $I = \int\limits_0^\pi {{x^2}\cos xdx} $ và $u = {x^2};dv = \cos xdx$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
Giả sử tích phân \(I = \int\limits_0^4 {x\ln {{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}dx = a + \dfrac{b}{c}\ln 3.} \) Với phân số \(\dfrac{b}{c}\) tối giản. Lúc đó :
Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ sao cho \(n\ln n - \int_1^n {\ln xdx} \) có giá trị không vượt quá $2017$
Biết \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x.c{\rm{os}}2xdx} = a + b\pi \), với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Tính \(S = a + 2b\).
Biết tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x{e^{2x}}dx} = a{e^2} + b\) ($a,b$ là các số hữu tỉ). Khi đó tổng \(a + b\) là:
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin x} \). Gọi \(a,b\) là các số nguyên thỏa mãn \(I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + a}}{b}\). Chọn kết luận đúng:
Cho \(I = \int\limits_0^1 {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 15} } \right)dx} = a + b\ln 3 + c\ln 5\) với \(a,b,c \in \mathbb{Q}\). Tính tổng \(a + b + c\).
