Kết quả của tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{x\sqrt {1 + {x^3}} }}} \) có dạng \(I = a\ln 2 + b\ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right) + c\) với \(a,b,c \in Q\). Khi đó giá trị của $a$ bằng:
-
A.
\(a = \dfrac{1}{3}\)
-
B.
\(a = - \dfrac{1}{3}\)
-
C.
\(a = - \dfrac{2}{3}\)
-
D.
\(a = \dfrac{2}{3}\)
+) Nhân cả tử và mẫu của hàm số dưới dấu tích phân với \({x^2}\).
+) Sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân:
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).
Đặt \(t = \sqrt {1 + {x^3}} \Rightarrow {t^2} = 1 + {x^3} \Rightarrow 2tdt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \dfrac{2}{3}tdt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \\x = 2 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{x\sqrt {1 + {x^3}} }}} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^2}dx}}{{{x^3}\sqrt {1 + {x^3}} }}} = \dfrac{2}{3}\int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} - 1}}} = \left. {\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right|} \right|_{\sqrt 2 }^3 \\ = \dfrac{1}{3}\left( {\ln \dfrac{1}{2} - \ln \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)} \right) = - \dfrac{1}{3}\ln 2 - \dfrac{1}{3}\ln {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} = - \dfrac{1}{3}\ln 2 - \dfrac{2}{3}\ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right) \\ = a\ln 2 + b\ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right) + c \Rightarrow a = - \dfrac{1}{3}\end{array}\)
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có nguyên hàm trên $\left( {a;b} \right)$ đồng thời thỏa mãn \(f\left( a \right) = f\left( b \right)\). Lựa chọn phương án đúng:
Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục trên $R$ và $\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( x \right)} dx{\rm{ = 2}}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ và liên tục trên \(\left[ { - a;a} \right]\). Chọn kết luận đúng:
Cho \(\int_0^4 {f(x)dx} = - 1\), tính $I = \int_0^1 {f(4x)} dx$:
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x\sin xdx} \)
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} dx} \). Đặt \(u = 8 + \cos x\) thì kết quả nào sau đây là đúng?
Tính tích phân \(I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\dfrac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx} \) bằng phương pháp đổi biến số \(u = \sqrt {{e^x} - 1} \). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Biết rằng \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \ln a} \) với \(a \in R\). Khi đó giá trị của $a$ bằng:
Cho \(2\sqrt 3 m - \int\limits_0^1 {\dfrac{{4{x^3}}}{{{{\left( {{x^4} + 2} \right)}^2}}}dx} = 0\). Khi đó \(144{m^2} - 1\) bằng:
Đổi biến $u = \ln x$ thì tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} \) thành:
Cho \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx} \) và \(t = \sqrt {1 + 3\ln x} \) . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
Biến đổi \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}dx} \) thành \(\int\limits_2^3 {f\left( t \right)dt} \) với \(t = \ln x + 2\). Khi đó \(f\left( t \right)\) là hàm nào trong các hàm số sau?
Kết quả tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x\left( {{{\ln }^2}x + 1} \right)}}dx} \) có dạng \(I = a\ln 2 + b\) với \(a,b \in Q\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Nếu tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {{{\sin }^n}x\cos xdx} = \dfrac{1}{{64}}\) thì $n$ bằng bao nhiêu?
Đổi biến \(x = 4\sin t\) của tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt 8 } {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \) ta được:
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} \). Bằng phương pháp đổi biến thích hợp ta đưa được tích phân đã cho về dạng:
Tìm \(a\) biết \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\dfrac{{{e^x}dx}}{{2 + {e^x}}}} = \ln \dfrac{{ae + {e^3}}}{{ae + b}}\) với $a, b$ là các số nguyên dương.
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^{{{\sin }^2}x}}\sin x{{\cos }^3}x} dx\). Nếu đổi biến số \(t = {\sin ^2}x\) thì:
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{6\tan x}}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} \). Giả sử đặt \(u = \sqrt {3\tan x + 1} \) thì ta được:
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\left( {1 - \cos x} \right)}^n}\sin xdx} \) bằng:
