a) Chứng minh rằng: \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right).\)
b) Tính giá trị của \({a^3} + {b^3},\) biết rằng \(a + b = 5\) và \(ab = - 6.\)
Sử dụng hằng đẳng thức kết hợp với nhân đa thức với đa thức.
a) Ta có: \(VP = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} = {a^3} + {b^3} = VT\left( {dpcm} \right)\)
b) Thay \(a + b = 5\) và \(ab = - 6.\) vào biểu thức, ta có
\({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) = {5^3} - 3.\left( { - 6} \right).5 = 215.\)
Vậy giá trị của biểu thức là \(215.\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Với hai số a,b bất kì, thực hiện phép tính
\(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)
Từ đó rút ra liên hệ giữa \({a^3} + {b^3}\) và \(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\).
- Viết \({x^3} + 27\) dưới dạng tích.
- Rút gọn biểu thức \({x^3} + 8{y^3} - \left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \right)\).
Giải quyết tình huống mở đầu.
Cho \(x + y = 3\) và \(xy = 2\). Tính \({x^3} + {y^3}\)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right).\)
2. Hãy cho biết \({a^3} + {b^3} = ?\)
a) Viết \(8{a^3} + 27\) dưới dạng tích.
b) Viết \(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\) dưới dạng tổng.
Biểu thức \({x^3} + 64{y^3}\) bằng:
A. \(\left( {x + 4y} \right)\left( {{x^2} - 4xy + 16{y^2}} \right)\)
B. \(\left( {x + 4y} \right)\left( {{x^2} - 4xy + 4{y^2}} \right)\)
C. \(\left( {x + 4y} \right)\left( {{x^2} + 4xy + 16{y^2}} \right)\)
D. \(x + 4y\left( {{x^2} - 8xy + 16{y^2}} \right)\)
Thực hiện phép nhân \(\left( {{a^2} - 2a + 4} \right)\left( {a + 2} \right)\), ta nhận được
A. \({a^3} - 8\)
B. \({a^3} + 8\)
C. \({\left( {a - 2} \right)^3}\)
D. \({\left( {a + 2} \right)^3}\)
Đa thức \({x^3} + 8{y^3}\) được viết thành tích của hai đa thức:
A. \(x + 2y\) và \({x^2} + 2xy + 4{y^2}\).
B. \(x + 2y\) và \({x^2} - 2xy + 4{y^2}\).
C. \(x - 2y\) và \({x^2} - 2xy + 4{y^2}\).
D. \(x - 2y\) và \({x^2} + 2xy + 4{y^2}\).
Rút gọn biểu thức \(A = {\left( {2x + 1} \right)^3}\;-6x\left( {2x + 1} \right)\) ta được:
A. \({x^3}\; + \;8\).
B. \({x^3}\; + \;1\).
C. \(8{x^3}\; + \;1\).
D. \(8{x^3}\;-1\).
Chọn phương án đúng nhất để điền vào chỗ trống.
“… bằng tích của tổng hai biểu thức với bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.”
-
A.
Hiệu hai bình phương.
-
B.
Hiệu hai lập phương.
-
C.
Tổng hai bình phương.
-
D.
Tổng hai lập phương.
Biểu thức cần điền vào chỗ trống để có hằng đẳng thức \({x^3} + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - ... + 1} \right)\) đúng là:
-
A.
\(x\)
-
B.
\(-x\)
-
C.
\(2x\)
-
D.
\(-2x\)
Điền vào chỗ trống: \(\left( {3x + y} \right)\left( {9{x^2} + ... + {y^2}} \right) = 27{x^3} + {y^3}\)
-
A.
\(3xy\).
-
B.
\( - 3xy\).
-
C.
\(6xy\).
-
D.
\( - 6xy\).
Biểu thức \({x^3} + 64\) được viết dưới dạng tích là
-
A.
\(\left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 4x + 16} \right)\).
-
B.
\(\left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 4x - 16} \right)\)
-
C.
\(\left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} + 4x + 16} \right)\).
-
D.
\(\left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} - 4x + 16} \right)\).
Điền vào chỗ trống \({x^3} + 512 = (x + 8)\left( {{x^2} - \left[ {} \right] + 64} \right)\)
-
A.
\( - 8x\).
-
B.
\(8x\).
-
C.
\( - 16x\).
-
D.
\(16x\).
