Cho hình thang cân ABCD có AB // CD , AB < CD, E là giao điểm của AD và BC (Hình 25)
a) So sánh các cặp góc: ^EDCˆEDC và ^ECDˆECD; ^EABˆEAB và ^EBAˆEBA.
b) So sánh các cặp đoạn thẳng: EA và EB, ED và EC. Từ đó, hãy so sánh AD và BC.
c) Hai tam giác ADC và BCD có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh AC và BD
Quan sát hình 25.
a, Do ABCD là hình thang cân nên.
^ADC=^BCDˆADC=ˆBCDhay ^EDC=^ECDˆEDC=ˆECD
Do ABCD là hình thang cân nên
^BAD=^ABC(1)ˆBAD=ˆABC(1)
Mà:
^BAD+^EAB=1800^ABC+^EBA=1800
Suy ra:
^BAD+^EAB=^ABC+^EBC⇒^EAB=^EBA(do(1))
b, Do ^EAB=^EBA suy ra ΔEABcân tại E nên EA = EB
Do ^EDC=^ECD suy ra ΔECDcân tại E nên ED = EC
Mà: ED = EC
Suy ra EA + AD = EB + BC
Suy ra AD = BC (do EA = EB)
c, Xét ΔADC và ΔBCD có:
AD = BC
^ADC=^BCD
DC chung
Suy ra: ΔADC=ΔBCD(c.g.c)⇒AC=BD
Các bài tập cùng chuyên đề
Tính các góc của hình thang cân ABCD (AB // CD), biết ˆC=40o(H.3.15).
Cho hình thang cân ABCD, AC // CD và AB < CD (H.3.16).
a) Từ A và B kẻ AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD. Chứng minh rằng AH = BI bằng cách chứng minh ∆AHI = ∆IBA.
b) Chứng minh ∆AHD = ∆BIC, từ đó suy ra AD = BC
Cho tứ giác ABCD như Hình 3.18. Biết rằng ˆA=ˆB=^D1. Chứng minh rằng AD = BC.
Cho hình thang cân ABCD, kẻ hai đường chéo AC, BD (H.3.19). Hãy chứng minh ∆ACD = ∆BDC. Từ đó suy ra AC = BD
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ một đường thẳng d song song với BC, d cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E (H.3.20).
a) Tứ giác DECB là hình gì?
b) Chứng minh BE = CD.
Hình thang trong Hình 3.23 có là hình thang cân không? Vì sao
Vẽ hình thang cân ABCD (AB // CD) biết đáy lớn CD dài 4 cm, cạnh bên dài 2 cm và đường chéo dài 3 cm.
Hai tia phân giác của hai góc A, B của hình thang cân ABCD (AB // CD) cắt nhau tại điểm E trên cạnh đáy CD. Chứng minh rằng EC = ED.
a) Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD (AB>CD. Qua C vẽ đường thẳng song song với AD và cắt AB tại E (Hình 6a)
i) Tam giác CEB là tam giác gì? Vì sao?
ii) So sánh AD và BC
b) Cho hình thang cân MNPQ có hai đáy là MN và PQ (Hình 6). So sánh MP và NQ
Tìm các đoạn thẳng bằng nhau trong hình thang cân MNPQ có hai đáy MN và PQ
Một khung cửa sổ hình thang cân có chiều cao 3m, hai đáy là 3m và 1m (Hình 9). Tìm độ dài hai cạnh bên và hai đường chéo.
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Qua gia điểm E của AC và BD, ta vẽ đường thẳng song song với AB và cắt AD, BC lần lượt tại F và G (Hình 16). Chứng minh rằng EG là tia phân giác của góc CEB.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có ˆA=65∘. Số đo góc C là:
A. 115∘
B. 95∘
C. 65∘
D. 125∘
Hình thang cân có những tính chất gì? Có những dấu hiệu nào để nhận biết một tứ giác là hình thang cân?
Cho hình thang cân, ABCD có AB //CD. Chứng minh ^ADB=^BCA
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, CD và T là giao điểm của AC và BD (hình 30)
a) ^TAD=^TBC,^TDA=^TCB
b) TA=TB,TD=TC
c) MN là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD
Hình 33a là mặt cắt đứng phần chứa nước của một con mương (hình 32) khi đầy nước có dạng hình thang cân. Người ta mô tả lại bằng hình học mặt cắt đứng của con mương đó ở Hình 33b với BD // AE (B thuộc AC. H là hình chiếu của D trên đường thẳng BC.
a) Chứng minh rằng các tam giác BCD, BDE, ABE là các tam giác đều
b) Tính độ dài của DH, AC
c) Tính diện tích mặt cắt đứng phần chứa nước của con mương đó khi đầy nước.
Trong Hình 3.42, giải thích vì sao ΔOAB và ΔOCD là các tam giác cân tại O. Em hãy so sánh các cặp cạnh OA và OB,OC và OD. Từ đó có thể kết luận gì về hai đoạn thẳng AC và BD?
Trong Hình 3.46, cho ^X1=^XTZ=^YZT,XT=6,OT=7 và OY=4. Tứ giác XYZT là hình gì? Tìm độ dài XZ và YZ.
Mai cho rằng hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân. Bạn Mai nói có đúng không? Vì sao?
Cho ABC là tam giác cân tại A. Lấy điểm M trên cạnh AB, điểm N trên cạnh AC sao cho AM=AN. Chứng minh rằng BMNC là hình thang cân.
Tính các góc của hình thang ABCD (AB,CD là hai đáy) biết ˆA=2ˆD, ˆB=ˆC+40∘.
Cho hình thang cân ABCD với hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD, BC cắt nhau tại S. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, đi qua trung điểm của CD.
Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB và CD, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên AD, tia CA là tia phân giác của góc C. Tính chu vi của hình thang đó biết rằng AD=2cm.
Điền cụm từ thích hợp vào chỗ trống.
a) Hình thang cân là ............................................................................................ bằng nhau.
b) Hình thang có ....................................................................................... là hình thang cân.
c) Hai cạnh bên của hình thang cân .....................................................................................
d) Hình thang cân ABCD (AB // CD) có AD = ...................; AC = ..................; ˆA=.................. ; ˆC=..................
Hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J. Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ BC. Hạ BH ⊥ AD, CE ⊥ AD.
a) Chứng minh AH = ED.
b) Cho BH = 4 cm, và ˆA=45∘. Tính độ dài ED.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AB = AD. Biết ^ABD=30∘, tính số đo góc của hình thang đó.
Tính số đo các góc của tứ giác ABCD trong Hình 3.16.
Cho hình thang cân ABCD có AB//CD, DB là tia phân giác của góc D, DB⊥BC. Biết AB=4cm. Tính chu vi của hình thang đó.