Đề bài

Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn với $MO = 2R$, vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc (O) tại A và B. Viết công thức tính phần diện tích nằm ngoài đường tròn (O) của tứ giác MAOB theo R.

Phương pháp giải

+ Tính số đo góc AOM, từ đó tính được góc AOB, từ đó tính được số đo cung nhỏ AB.

+ Chứng minh $\Delta OAM = \Delta OBM\left( {c.g.c} \right)$, suy ra ${S_{\Delta OAM}} = {S_{\Delta OBM}}$ nên ${S_{OAMB}} = {S_{\Delta OAM}} + {S_{\Delta OBM}} = 2{S_{\Delta OAM}}$.

+ Diện tích hình quạt tâm O, cung nhỏ AB là: ${{S}_{q}}=\frac{\pi .O{{A}^{2}}.sđ{{\overset\frown{AB}}_{nhỏ}}}{{{360}^{o}}}$.

+ Diện tích nằm ngoài đường tròn (O) của tứ giác MAOB là: $S = {S_{OAMB}} - {S_q}$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên

+ $MA = MB$.

+ OA là tia phân giác của góc AOB, suy ra $\widehat {AOM} = \widehat {MOB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}$.

Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên $MA \bot AO$ nên $\Delta AOM$ vuông tại A. Suy ra:

+ $AM = \sqrt {M{O^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} - {R^2}} = \sqrt 3 R$.

+ $\cos AOM = \frac{{OA}}{{OM}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}$ nên $\widehat {AOM} = {60^o}$, suy ra $\widehat {AOB} = {2.60^o} = {120^o}$.

Vì AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên số đo cung nhỏ AB bằng 120 độ.

Vì tam giác AOM vuông tại A nên

${S_{AOM}} = \frac{1}{2}OA.AM = \frac{1}{2}.R.R\sqrt 3 = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{3}$.

Tam giác OAM và tam giác OBM có:

$OA = OB$ (= bán kính (O)),

$OM$ chung,

$\widehat {AOM} = \widehat {MOB}\left( {cmt} \right)$

Do đó, $\Delta OAM = \Delta OBM\left( {c.g.c} \right)$.

Suy ra, ${S_{OAMB}} = {S_{\Delta OAM}} + {S_{\Delta OBM}} = 2{S_{\Delta OAM}} = \frac{{2{R^2}\sqrt 3 }}{3}$.

Diện tích hình quạt tâm O, cung nhỏ AB là:

${{S}_{q}}=\frac{\pi .O{{A}^{2}}.sđ{{\overset\frown{AB}}_{nhỏ}}}{360}=\frac{\pi .{{R}^{2}}.120}{360}=\frac{\pi .{{R}^{2}}}{3}$.

Diện tích nằm ngoài đường tròn (O) của tứ giác MAOB là: $S = {S_{OAMB}} - {S_q} = \frac{{2{R^2}\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\pi .{R^2}}}{3} = \frac{{{R^2}}}{3}\left( {2\sqrt 3 - \pi } \right)$.

Xem thêm : SGK Toán 9 - Cùng khám phá

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Để mô phỏng nguyệt thực, hãy cắt hai hình tròn từ giấy: hình tròn thứ nhất màu sáng tượng trưng cho Mặt Trăng, hình tròn thứ hai màu tối (to hơn bằng giấy mờ càng tốt) tượng trưng cho bóng Trái Đất. Sắp xếp hai hình tròn để:

a) Mô phỏng nguyệt thực một phần. Khi đó, hình ảnh của hai đường tròn có vị trí tương đối như thế nào?

b) Mô phỏng nguyệt thực toàn phần. Khi đó, hình ảnh của hai đường tròn có vị trí tương đối như thế nào?

Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn với \(MO = 2R\), vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc (O) tại A và B. Viết công thức tính phần diện tích nằm ngoài đường tròn (O) của tứ giác MAOB theo R.