Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có là hai vectơ đối nhau không? Giải thích vì sao.

Một tòa nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 22 lên tầng 29. Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau không? Giải thích vì sao.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Trong ba vectơ \(\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {DC} \), vectơ nào bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} \).

b) Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. Xác định điểm N sao cho \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB} \).

Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó có bằng nhau không?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.7)

a) So sánh độ dài hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {D'C'} \).

b) Nhận xét về giá của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {D'C'} \).

c) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {D'C'} \) có cùng phương không? Có cùng hướng không?

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (H.2.6). Trong các vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AD'} \):

a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)?

b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?

Hình 2.3 cho ta ví dụ về một số đại lượng có thể biểu diễn bởi vectơ trong không gian. Hãy tìm thêm một số ví dụ tương tự.

Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ.

a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các các lực căng dây?

b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó.

Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b \). Lấy điểm A’ và vẽ các vectơ \(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {B'C'}  = \overrightarrow b \) (H.2.10).

a) Giải thích vì sao \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'} \) và \(\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'} \).

b) Giải thích vì sao AA’C’C là hình bình hành, từ đó suy ra \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A'C'} \).

Hai vectơ \(1\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) có bằng nhau không? Hai vectơ \(\left( { - 1} \right)\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) có bằng nhau không?

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17)

a) Hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có cùng phương không? Có cùng hướng không?

b) Giải thích vì sao \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|\).

Xác định góc giữa hai vectơ cùng hướng (và khác \(\overrightarrow 0 \)), góc giữa hai vectơ ngược hướng trong không gian

Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow a \)) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ \(\overrightarrow b ,\overrightarrow c ,\overrightarrow d ,\overrightarrow e \)).

a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c ,\overrightarrow d \) và \(\overrightarrow e \).

b) Giải thích vì sao các vectơ \(\overrightarrow b ,\overrightarrow c ,\overrightarrow d ,\overrightarrow e \) đôi một bằng nhau.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có \(AB = 2,AD = 3\) và \(AA' = 4\). Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {BD'} \).

Trong không gian, cho ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) phân biệt và đều khác \(\overrightarrow 0 \). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều cùng hướng với \(\overrightarrow c \) thì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.

b) Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều ngược hướng với \(\overrightarrow c \) thì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.

c) Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều cùng hướng với \(\overrightarrow c \) thì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng.

d) Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều ngược hướng với \(\overrightarrow c \) thì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O và gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’. Tỉ số \(\frac{{AG}}{{AO}}\) bằng

A. \(\frac{1}{3}\).

B. \(\frac{1}{2}\).

C. \(\frac{2}{3}\).

D. \(\frac{3}{4}\).

Trong mặt phẳng, hãy nêu định nghĩa:

a) Vecto, giá và độ dài của vecto, hai vecto cùng phương, hai vecto cùng hướng;

b) Vecto - không;

c) Hai vecto bằng nhau, hai vecto đối nhau.

Trong không gian, cho hai vecto \(\vec a,\vec b\)khác \(\;\vec 0\). Lấy một điểm O tùy ý.

a, Vẽ hai vecto \(\overrightarrow {OA}  = \vec a,\;\overrightarrow {OB}  = \vec b\)

b, Khi đó , hai vecto \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) có giá nằm trong cùng mặt phẳng (P) (hình 10). Nếu định nghĩa góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {OA} ,\;\overrightarrow {OB} \) trong hai mặt phẳng (P)

Trong Hình 4, cho biết ba vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {{F_3}} \) biểu diễn lực căng của các sợi dây cáp AB, AC, AD tác dụng lên vật nặng. Giá của ba vectơ này có cùng nằm trên một mặt phẳng không?

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là S và điểm cuối là các đỉnh của đa giác đáy

b) Tìm các vectơ có độ dài bằng độ dài của vectơ \(\overrightarrow {SA} \)

c) Tìm các vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {CB} \)

Trong Khởi động, tìm vectơ biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ vị trí A của máy bay đến vị trí S của trạm kiểm soát

Nhắc lại định nghĩa vectơ trong mặt phẳng. Có thể định nghĩa vectơ trong không gian như đã định nghĩa vectơ trong mặt phẳng không?

Cho ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \). Điều kiện nào sau đây khẳng định \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng?

Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng:

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).

a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là \(B\) và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp không cùng nằm trên một mặt của hình hộp với điểm \(B\).

b) Tìm các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {BC} \).

c) Tìm các vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {BD} \).

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thuộc tập \(\left\{ S,A,B,C,D \right\}\):

a) Các vectơ nào có điểm đầu là S?

b) Những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng (SAB)?

c) Vectơ nào là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {BC} \)?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh

phân biệt của hình hộp:

a) Vectơ nào cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {AC} \)?

b) Vectơ nào bằng vectơ \(\overrightarrow {AD'} \)?

c) Những vectơ nào là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {AA'} \)?

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có \(AB = AD = 1\) và \(AA' = 2\). Tính độ dài của các vectơ sau:

a) \(\overrightarrow {BD} \)

b) \(\overrightarrow {CD'} \)

c) \(\overrightarrow {AC'} \)

Cho tứ diện \(ABCD\). Trong các vectơ có hai đầu mút là hai đỉnh phân biệt của tứ diện, có bao nhiêu vectơ có giá nằm trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)?

A. 3.                               

B. 4.                               

C. 5.                     

D. 6.

Trong không gian, cho vectơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Vectơ \(\overrightarrow a \) có đúng một vectơ đối.

B. Vectơ \(\overrightarrow a \) có hai vectơ đối là \(\overrightarrow 0 \) và chính nó.

C. Vectơ \(\overrightarrow a \) có hai vectơ đối là \(\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \).

D. Các vectơ đối của \(\overrightarrow a \) đều bằng nhau.