Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $R$ và có đồ thị như hình vẽ bên, một hàm số $g\left( x \right)$ xác định theo $f\left( x \right)$ có đạo hàm $g'\left( x \right) = f\left( x \right) + m$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)$ có duy nhất một cực trị.

Hàm số $g\left( x \right)$ có duy nhất một cực trị $ \Leftrightarrow $ pt $g'\left( x \right) = 0$ có đúng một nghiệm \(x_0\) thỏa mãn \(g'(x)\) đổi dấu qua nghiệm đó.

Theo đề bài ta có: $g'\left( x \right) = f\left( x \right) + m$ $ \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x\right) + m = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - m$ $ \Rightarrow $ Số nghiệm của pt $g'\left( x \right) = 0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y =  - m$.

Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng $y =  - m$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại một điểm duy nhất

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  - m < 0 \hfill \\ - m > 4 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}m > 0 \hfill \\  m <  - 4 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$.

Ngoài ra, với \(m=0\) hoặc \(m=-4\) thì đồ thị hàm số \(y=f(x)\) có hai điểm chung với đường thẳng \(y=m\) nhưng một điểm là điểm tiếp xúc nên phương trình \(g'(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm kép và một nghiệm đơn.

Nên trong trường hợp này, hàm số \(y=g(x)\) vẫn chỉ có một cực trị.

Vậy \(m \ge 0 \) hoặc \(  m \le  - 4 \).