Xét biểu thức \(P = \frac{{x\sqrt x - x + 2\sqrt x + 4}}{{x\sqrt x + 8}}\) với \(x \ge 0\).
a) Chứng minh rằng \(P = 1 - \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\).
b) Tính giá trị biểu thức đã cho tại \(x = 64\).
a) + Phân tích biểu thức tử thức thành nhân tử bằng cách tách hạng tử.
+ Phân tích biểu thức mẫu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức.
+ Rút gọn phân thức được \(P = 1 - \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\).
b) So sánh \(x = 64\) với điều kiện, thay \(x = 64\) vào P để tính giá trị P.
a) Với \(x \ge 0\) ta có:
\(P\)\( = \frac{{x\sqrt x - x + 2\sqrt x + 4}}{{x\sqrt x + 8}}\)\( = \frac{{x\sqrt x + x - 2x - 2\sqrt x + 4\sqrt x + 4}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} + {2^3}}}\)\( = \frac{{x\left( {\sqrt x + 1} \right) - 2\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 2\sqrt x + 4} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - 2\sqrt x + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 2\sqrt x + 4} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\)\( = \frac{{\sqrt x + 2 - 1}}{{\sqrt x + 2}}\)\( = 1 - \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\) (đpcm)
b) Với \(x = 64\) (thỏa mãn điều kiện) thay vào P ta có: \(P = 1 - \frac{1}{{\sqrt {64} + 2}} = 1 - \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Rút gọn biểu thức $E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}} $ với $0 < a < b$ ta được
Cho căn thức \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} .\)
a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của x.
b) Rút gọn căn thức đã cho với \(x \ge 2.\)
c) Chứng tỏ rằng với mọi \(x \ge 2,\) biểu thức \(\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} } \) có giá trị không đổi.
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(2\sqrt {\frac{2}{3}} - 4\sqrt {\frac{3}{2}} ;\)
b) \(\frac{{5\sqrt {48} - 3\sqrt {27} + 2\sqrt {12} }}{{\sqrt 3 }};\)
c) \(\frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }} + \frac{{4\sqrt 2 - 4}}{{2 - \sqrt 2 }}.\)
Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{4}{{\sqrt x + 2}}\left( {x \ge 0,x \ne 4} \right).\)
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A tại \(x = 14.\)
Biết rằng nhiệt lượng tỏa ra trên dây dẫn được tính bởi công thức \(Q = {I^2}Rt,\) trong đó Q là nhiệt lượng tính bằng đơn vị Joule (J) , R là điện trở tính bằng đơn vị Ohm (Ω) , I là cường độ dòng điện tính bằng đơn vị Ampe (A) , t là thời gian tính bằng giây (s) . Dòng điện chạy qua một dây dẫn có R = 10 Ω trong thời gian 5 giây.
a) Thay dấu “?” trong bảng sau bằng các giá trị thích hợp.
b) Cường độ dòng điện là bao nhiêu Ampe để nhiệt lượng tỏa ra trên dây dẫn đạt 800 J?
Tính
a) \(\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2}} \)
b) \(\sqrt {{{\left( { - \frac{2}{7}} \right)}^2}} \)
c) \({\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} - \sqrt {25} \)
d) \({\left( { - \sqrt {\frac{2}{3}} } \right)^2}.\sqrt {0,09} \)
Cho hình chữ nhật có chiều rộng a (cm), chiều dài b (cm) và diện tích S (cm2)
a) Tìm S, biết a = \(\sqrt 8 \); b = \(\sqrt {32} \).
b) Tìm b, biết S = \(3\sqrt 2 \); a = \(2\sqrt 3 \)
Trả lời câu hỏi trong hoạt động khởi động trang 52.
Một khu đất hình tam giác vuông tiếp giáp với hai thửa ruộng hình vuông có diện tích như hình bên. Khu đất hình tam giác vuông có chu vi bằng chu vi thửa ruộng bé không? Kiểm tra bằng cách nào?
Đẳng thức nào sau đây không đúng?
A. \(\sqrt {16} + \sqrt {144} = 16\)
B. \(\sqrt {0,64} .\sqrt 9 = 2,4\)
C. \(\sqrt {{{( - 18)}^2}} :\sqrt {{6^2}} = 3\)
D. \(\sqrt {{{( - 3)}^2}} - \sqrt {{7^2}} = - 10\)
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(\left( {a\sqrt {\frac{3}{a}} + 3\sqrt {\frac{a}{3}} + \sqrt {12{a^3}} } \right):\sqrt 3 a\) với a > 0
b) \(\frac{{1 - a}}{{1 + \sqrt a }} + \frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }}\) với \(a \ge 0;a \ne 1\)
Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{a + \sqrt a }} - \frac{1}{{\sqrt a + 1}}} \right):\frac{{\sqrt a - 1}}{{a + 2\sqrt a + 1}}\) với a > 0 và a \( \ne \)1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi a = 0,25
Tính độ dài cạnh huyền của mỗi tam giác vuông trong Hình 2.
Giông bão thổi mạnh, một cây bị gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất và tạo với phương năm ngang một góc \(45^\circ \) (minh họa ở Hình 3). Người ta đo được khoảng cách từ chỗ ngọn cây chạm đất đến gốc cây là \(4,5m\). Giả sử cây mọc vuông góc với mặt đất, hãy tính chiều cao của cây đó theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
So sánh:
a. \(\sqrt 3 .\sqrt 7 \) và \(\sqrt {22} \);
b. \(\frac{{\sqrt {52} }}{{\sqrt 2 }}\) và \(5\);
c. \(3\sqrt 7 \) và \(\sqrt {65} \).
Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh a. Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC theo a.
Có hai xã A, B cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xác đó đến bờ sông lần lượt là \(AA' = 500m,BB' = 600m\) và người ta đo dược \(A'B' = 2200m\). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Giả sử vị trí của trạm cung cấp nước sạch đó là điểm M trên đoạn \(A'B'\) với \(MA' = x\left( m \right)\), \(0 < x < 2200\) (minh họa ở Hình 6).
a. Hãy tính tổng khoảng cách \(MA + MB\) theo \(x\).
b. Tính tổng khoảng cách \(MA + MB\) khi \(x = 1200\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
Khí trong động cơ giãn nở từ áp suất \(p_1^{}\) và thể tích \(V_1^{}\) đến áp suất \(p_2^{}\) và thể tích \(V_2^{}\) thỏa mãn đẳng thức: \(\frac{{p_1^{}}}{{p_2^{}}} = \left( {\frac{{V_1^{}}}{{V_2^{}}}} \right)_{}^2\). Có thể tính được thể tích \(V_1^{}\) theo \(p_1^{},p_2^{}\) và \(V_2^{}\) được hay không?
Rút gọn biểu thức: \(\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \frac{{2b}}{{a - b}}\) với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\).
So sánh:
a. \(2\sqrt 3 \) và \(3\sqrt 2 \);
b. \(7\sqrt {\frac{3}{7}} \) và \(\sqrt 2 .\sqrt {11} \);
c. \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\) và \(\frac{6}{{\sqrt {10} }}\).
Ngày 28/9/2018, sau trận động đất 7,5 độ Richter, cơn sóng thần (Tiếng Anh là Tsunami) cao hơn 6m đã tràn vào đảo Sulawesicuar (Indonesia) và tàn phá thành phố Palu gây thiệt hại vô cùng to lớn. Tốc độ cơn sóng thần v (m/s) và chiều sâu đại dương d (m) của nơi bắt đầu sóng thần liên hệ bởi công thức \(v = \sqrt {dg} \), trong đó \(g = 9,81\,\,m/s_{}^2\).
a. Hãy tính tốc độ cơn sóng thần xuất phát từ Thái Bình Dương, ở độ sâu trung bình 400m (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét trên giây).
b. Theo tính toán của các nhà khoa học địa cất, tốc độ cơn sóng thần ngày 28/9/2018 là 800km/h, hãy tính chiều sâu đại dương của nơi tâm chấn động đất gây ra sóng thần (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
Khi bay vào không gian, trọng lượng P(N) của một phi hành gia ở vị trí cách mặt đất một độ cao h(m) được tính theo công thức: \(P = \frac{{28014.10_{}^{12}}}{{\left( {64.10_{}^5 + h} \right)_{}^2}}\).
a. Trọng lượng của phi hành gia là bao nhiêu Newton khi cách mặt đất 10 000 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
b. Ở độ cao bao nhiêu mét thì trọng lượng của phi hành gia là 619N (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Áp suất \(P\left( {{\mathop{\rm l}\nolimits} b/in_{}^2} \right)\) cần thiết để ép nước qua một ống dài \(L\left( {ft} \right)\) và đường kính \(d\left( {in} \right)\) với tốc độ \(v\left( {ft/s} \right)\) được cho bởi công thức: \(P = 0,00161.\frac{{v_{}^2L}}{d}\).
a. Hãy tính v theo P, L và d.
b. Cho \(P = 198,5;\,\,L = 11560;\,\,d = 6\). Hãy tính tốc độ v (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của feet trên giây).
Biết rằng \(1\,\,in = 2,54cm;\,\,1\,\,ft\left( {feet} \right) = 0,3048m;\,\,1\,\,lb\left( {pound} \right) = 0,45359237kg;\,\,\)
\(1\,\,lb/in_{}^2 = 6894,75729Pa\left( {Pascal} \right)\).
Trả lời câu hỏi nêu trong phần Khởi động bằng cách tính tỉ số của \({v_2}\) và \({v_1}\).
“Tốc độ \(v\left( {m/s} \right)\) của một vật thể sau khi rơi được \(h\left( m \right)\) từ một độ cao được tính bởi công thức \(v = \sqrt {19,6h} \). Gọi \({v_1}\) là tốc độ của vật sau khi rơi được 25 mét và \({v_2}\) là tốc độ của vật sau khi rơi được 100 mét. Hỏi \({v_2}\) gấp bao nhiêu lần \({v_1}\)?”
Không dùng máy tính cầm tay, tính:
a)\(\sqrt {{3^4}.{{( - 5)}^2}} \)
b) \(\sqrt {0,6} .\sqrt {5,4} \)
c)\(\sqrt {3\frac{6}{{25}}} \)
d) \(\sqrt {\frac{{49}}{6}} :\sqrt {2\frac{2}{3}} \)
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(\sqrt {25{a^4}} - 2{a^2}\);
b) \(3\sqrt {4{b^6}} + 7{b^3}\) với \(b < 0\);
c) \(\frac{1}{{x - y}}\sqrt {{x^4}{{\left( {x - y} \right)}^2}} \) với \(x > y\);
d) \(\sqrt {0,3} .\sqrt {270{z^2}} \).
Tìm x, biết:
a) \(\sqrt 3 x - \sqrt {48} = 0\);
b) \(2\sqrt 5 x + \sqrt {80} = \sqrt {125} - \sqrt {45} \).
Diện tích A của hình tròn bán kính r được tính bởi công thức \(A = \pi {r^2}\).
a) Viết biểu thức tính r theo A từ công thức trên.
b) Diện tích của hình tròn \({C_1}\) gấp 9 lần diện tích của hình tròn \({C_2}\) thì bán kính của hình tròn \({C_1}\) gấp bao nhiêu lần bán kính của hình tròn \({C_2}\)?
Vào ngày 06/01/2020, ông Thành đầu tư hết 100 triệu đồng vào một tài khoản đầu tư chứng khoán. Đến cuối ngày 06/01/2021, tài khoản đầu tư của ông tăng gấp k lần. Đến cuối ngày 06/01/2022, tài khoản đó tăng thêm 0,8k lần so với tài khoản cuối ngày 06/01/2021. Gọi S (triệu đồng) là số tiền trong tài khoản đầu tư của ông Thành cuối ngày 06/01/2022.
a) Viết biểu thức tính S theo k.
b) Viết biểu thức tính k theo S. Nếu số tiền trong tài khoản đầu tư của ông Thành cuối ngày 06/01/2022 là 180 triệu đồng thì giá trị của k bằng bao nhiêu?
Trong một nghiên cứu về loài khủng long, người ta dùng công thức sau để ước tính tốc độ di chuyển của khủng long: \(Fr = \frac{{{v^2}}}{{gl}}\), trong đó Fr là số Froude, v(m/s) là tốc độ di chuyển của khủng long, l(m) là chiều dài chân của khủng long và \(g = 9,8m/{s^2}\) là gia tốc trọng trường.
(Nguồn: R.McNeill Alexander, How Dinosaur Ran, Scientific American, Vol.264, No.4 (April 1991), pp. 130 – 137)
a) Viết biểu thức tính v theo l và Fr từ công thức trên.
b) Ước tính tốc độ di chuyển của loài khủng long Triceratops có chiều dài chân là 2,8m và có số Froude là 0,16 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(3\sqrt {12} - 7\sqrt {48} - 4\sqrt {75} + 5\sqrt {108} \);
b) \(\left( {\sqrt 8 - 6\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right)\sqrt 2 - 2\sqrt 5 \);
c) \(0,7\sqrt {11} .\sqrt[3]{{1\;000}} + 7\sqrt {{{\left( {\sqrt {11} - \sqrt {13} } \right)}^2}} \);
d) \(\frac{3}{{\sqrt 8 - \sqrt 5 }} - \frac{{\sqrt {40} - \sqrt 5 }}{{\sqrt 8 - 1}}\).
