Cho khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại \(A\), \(A'A = A'B = A'C = a\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(30^\circ \), thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
A.
\(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\)
-
B.
\(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{8}\)
-
C.
\(\frac{{3{a^3}}}{8}\)
-
D.
\(\frac{{{a^3}}}{8}\)
Gọi H là trung điểm BC, M là trung điểm của B’C’
\( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\) và \(A'MH = 30^\circ \) từ đó tìm BC, AH và tính thể tích lăng trụ.
Do \(A'A = A'B = A'C = a\) nên hình chiếu của A’ xuống (ABC) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
Gọi H là trung điểm BC, M là trung điểm của B’C’
Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AH}\\{BC \bot A'H}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow BC \bot AA' \Rightarrow BC \bot HM\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \left( {\left( {A'B'C'} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = A'MH = 30^\circ }\\{ \Rightarrow A'H = HM.\sin 30^\circ = \frac{a}{2}}\\{ \Rightarrow A'M = \frac{{A'H}}{{\tan 30^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BC = 2A'M = a\sqrt 3 }\\{ \Rightarrow V = A'H.\frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3 {\rm{ \;}} = \frac{{3{a^3}}}{8}}\end{array}\)
Đáp án C.
Đáp án : C
