Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ \(BH \bot AC;CK \bot AB\) (\(H \in AC;\,\)\(K \in AB\)).
a) Chứng minh tam giác AKH là tam giác cân
b) Gọi I là giao của BH và CK; AI cắt BC tại M. Chứng minh rằng IM là phân giác của \(\widehat {BIC}\).
c) Chứng minh: \(HK\,{\rm{//}}\,BC\).
a) Chứng minh \(\Delta ABH = \Delta ACK\) theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn. suy ra AH = AK nên tam giác AKH là tam giác cân.
b) Chứng minh \(\widehat {{P_1}} = \widehat {{N_1}}\) nên \(\Delta AKI = \Delta AHI\) theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông suy ra \(\widehat {AIK} = \widehat {AIH}\)
Từ đó ta có \(\widehat {CIM} = \widehat {BIM}\) nên IM là phân giác của góc BIC
c) Từ tam giác cân ABC và AHK ta có \(\widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\), \(\widehat {AKH} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {AKH}\).
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên HK // BC.
a) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACK\) có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {AKC} = 90^\circ \) (vì \(BH \bot AC;CK \bot AB\))
AB = AC (\(\Delta ABC\) cân);
góc A chung;
Do đó: \(\Delta ABH = \Delta ACK\) (cạnh huyền – góc nhọn).
\( \Rightarrow AH = AK \Rightarrow \Delta AHK\) cân tại A (đpcm).
b) Xét \(\Delta AKI\) và \(\Delta AHI\) có: \(\widehat {AKI} = \widehat {AHI} = 90^\circ \) (vì \(BH \bot AC;CK \bot AB\))
AK = AH (\(\Delta AHK\) cân tại A);
cạnh AI chung;
Do đó: \(\Delta AKI = \Delta AHI\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
\( \Rightarrow \widehat {AIK} = \widehat {AIH}\).
Mà: \(\widehat {AIK} = \widehat {CIM};\widehat {AIH} = \widehat {BIM}\) (2 góc đối đỉnh).
Do đó: \(\widehat {CIM} = \widehat {BIM}\)\( \Rightarrow IM\)là phân giác của góc BIC (đpcm).
c) \(\Delta ABC\) cân tại A nên: \(\widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\) .
\(\Delta AHK\) cân tại A nên: \(\widehat {AKH} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\) .
Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {AKH}\).
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.
Do đó: KH // BC (đpcm).
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
Giá trị x thoả mãn tỉ lệ thức: \(\frac{6}{x} = \frac{{ - 10}}{5}\)
Trong các công thức sau, công thức nào phát biểu: “Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ 2”?
Biểu thức đại số biểu diễn công thức tính diện tích hình thang có 2 đáy độ dài a, b; chiều cao h ( a, b, h có cùng đơn vị đo độ dài)
Hệ số tự do của đa thức \( - {x^7} + 5{x^5} - 12x - 22\) là
Giá trị của đa thức \(g\left( x \right) = {x^8}{\rm{ + }}{x^4} + {x^2} + 1\) tại \(x = - 1\) bằng
Trong các biến cố sau, biến cố nào là biến cố ngẫu nhiên?
Gieo một đồng xu cân đối, đồng chất 1 lần. Xác suất của biến cố “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” là
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\widehat B = {65^0}.\) Chọn khẳng định đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có AM là đường trung tuyến, trọng tâm \(G\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Bộ ba số nào là độ dài ba cạnh của một tam giác?
Số mặt của hình hộp chữ nhật là
a) Tính giá trị của biểu thức \(A = (2x + y)(2x - y)\) tại \(x = - 2,\;y = \frac{1}{3}.\)
b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) thoả mãn \(x(3x - 2) - 3{x^2} = \frac{3}{4}.\)
Học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C làm 40 tấm thiệp để chúc mừng các thầy cô nhân ngày 20-11, biết số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là 45; 42; 33. Hỏi trong ba lớp trên mỗi lớp làm bao nhiêu tấm thiệp, biết số học sinh tỉ lệ với số thiệp cần làm.
Cho hai đa thức \(A\left( x \right) = 5{x^4} - 7{x^2} - 3x - 6{x^2} + 11x - 30\) và \(B\left( x \right) = - 11{x^3} + 5x - 10 + 13{x^4} - 2 + 20{x^3} - 34x\)
a) Thu gọn hai đa thức \(A\left( x \right)\) và \(B\left( x \right)\) và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính \(A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y,z\) thỏa mãn:
\(\frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2}\)và \(200 < {y^2} + {z^2} < 450\).
