Cho \(\Delta ABC\) nhọn có AB < AC. Đường cao AH. Qua H vẽ \(HM \bot AB\) và \(HN \bot AC\).

a) Chứng minh $\Delta AMH\backsim \Delta AHB$.

b) Chứng minh \(AN.AC = A{H^2}\).

c) Vẽ đường cao BD cắt AH tại E. Qua D vẽ đường thẳng song song với MN cắt AB tại F. Chứng minh \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\).

a) Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta AHB\) có:

\(\widehat {AMH} = \widehat {AHB}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\widehat A\) chung

suy ra $\Delta AMH\backsim \Delta AHB\left( g.g \right)$ (đpcm)

b) Xét \(\Delta ANH\) và \(\Delta AHC\) có:

\(\widehat {ANH} = \widehat {AHC}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\widehat A\) chung

suy ra $\Delta ANH\backsim \Delta AHC\left( g.g \right)$

suy ra \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(AN.AC = A{H^2}\) (đpcm)

c) Vì DF // NM nên \(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AD}}{{AN}}\)

Vì DE // HN nên \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AD}}{{AN}}\)

suy ra \(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}\)

Xét \(\Delta AFE\) và \(\Delta AMH\) có:

\(\widehat A\) chung

\(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}\)

suy ra $\Delta AFE\backsim \Delta AMH\left( c.g.c \right)$ nên \(\widehat {AEF} = \widehat {AHM}\)

Mà \(\widehat {AHM} = \widehat {ABC}\)(vì $\Delta AMH\backsim \Delta AHB$)

Do đó \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\) (đpcm)