Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ với tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{a^2}}}{x}\) (\(a\) là hằng số khác \(0\))

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\},\,\,\)\(y' =  - \frac{{2{a^2}}}{{{x^2}}}.\)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{a^2}}}{x}\) tại điểm \(\left( {{x_0};\frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}}} \right)\)là đường thẳng \(\left( d \right)\) có dạng:

\(y =  - \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}^2}}.\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}},\,\,\left( {{x_0} \ne 0,a \ne 0} \right).\)

+ Gọi \(A = d \cap Ox:\)Cho\(y = 0 \Rightarrow  - \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}^2}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}} = 0 \Leftrightarrow x - {x_0} - {x_0} = 0 \Leftrightarrow x = 2{x_0} \Rightarrow A\left( {2{x_0};0} \right).\)

+ Gọi \(B = d \cap Oy:\) Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  - \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}^2}}.\left( { - {x_0}} \right) + \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}} = \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}} + \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}} = \frac{{4{a^2}}}{{{x_0}}} \Rightarrow B\left( {0;\frac{{4{a^2}}}{{{x_0}}}} \right).\)

+ Diện tích tam giác \(OAB\): \(S = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.\left| {2{x_0}} \right|.\left| {\frac{{4{a^2}}}{{{x_0}}}} \right| = 4{a^2}\)