Đề bài

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(AD = 2a,AB = BC = a\). Chứng minh rằng:

a) Tam giác SBC là tam giác vuông.

b) \(CD \bot SC\).

Phương pháp giải

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),BC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).

Vì ABCD là hình thang vuông tại A và B nên \(AB \bot BC\).

Ta có: \(SA \bot BC\), \(AB \bot BC\), SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\). Lại có, \(SB \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow BC \bot SB\). Suy ra, tam giác SBC vuông tại B.

b) Gọi I là trung điểm của AD. Do đó, \(AI = ID = \frac{1}{2}AD = a\)

Tứ giác ABCI có: AI//BC (do tứ giác ABCD là hình thang vuông tại A, B), \(AI = BC\left( { = a} \right)\) nên tứ giác ABCI là hình bình hành. Lại có: \(BC = AB\) nên tứ giác ABCI là hình thoi. Mà \(\widehat {BAI} = {90^0}\) nên ABCI là hình vuông. Do đó, \(\widehat {AIC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {CID} = {90^0}\)

Tam giác CID có: \(\widehat {CID} = {90^0},CI = ID\left( { = a} \right)\) nên tam giác CID vuông cân tại I.

Suy ra: \(\widehat {DCI} = {45^0}\).

Lại có: CA là phân giác góc ICB (do ABCI là hình vuông) nên \(\widehat {ACI} = \frac{1}{2}\widehat {ICB} = \frac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\)

Suy ra: \(\widehat {ACD} = \widehat {ACI} + \widehat {ICD} = {90^0}\) hay \(AC \bot CD\)

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),DC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot DC\)

Ta có: \(AC \bot CD\), \(SA \bot DC\), SA và AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên \(DC \bot \left( {SAC} \right)\). Mà \(SC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot SC\)