Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của AC. Trên tia BO lấy điểm D sao cho O là trung điểm của BD.
a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.
b) Trên tia BA lấy điểm E sao cho A là trung điểm của BE. Chứng minh rằng AC = ED.
c) Qua O kẻ OM, ON lần lượt là phân giác của các góc BOA và BOC (\(M \in AB,N \in BC\)).
Chứng minh rằng MN // AC và BO đi qua trung điểm của MN.
a) Chứng minh tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
b) Chứng minh AO là đường trung bình của tam giác BED nên \(AO = \frac{1}{2}ED\).
Mà O là trung điểm của AC nên \(AO = \frac{1}{2}AC \Rightarrow AC = DE\).
c) Áp dụng tính chất của đường phân giác và định lí Thales đảo để chứng minh MN // AC.
Gọi F là giao điểm của BO và MN.
Dựa vào hệ quả của định lí Thales để suy ra MF = FN để được đpcm.
a) Xét tứ giác ABCD có:
O là trung điểm của AC
O là trung điểm của BD.
\(AC \cap BD = O\)
\( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành. (đpcm)
b) Xét tam giác BED có:
A là trung điểm của BE
O là trung điểm của BD
\( \Rightarrow \) AO là đường trung bình của tam giác BED.
\( \Rightarrow AO = \frac{1}{2}ED\)
Mà \(AO = \frac{1}{2}AC\) (O là trung điểm của AC)
\( \Rightarrow AC = ED\) (đpcm)
c) Áp dụng tính chất của đường phân giác, ta có:
OM là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\) \( \Rightarrow \frac{{AO}}{{AM}} = \frac{{OB}}{{BM}} \Rightarrow \frac{{AO}}{{OB}} = \frac{{AM}}{{BM}}\)
ON là tia phân giác của \(\widehat {BOC}\) \( \Rightarrow \frac{{OC}}{{CN}} = \frac{{OB}}{{BN}} \Rightarrow \frac{{OC}}{{OB}} = \frac{{CN}}{{BN}}\)
Mà \(AO = OC\) (gt)
\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{CN}}{{BN}}\)\( \Rightarrow MN//AC\) (định lí Thales đảo) (đpcm)
Gọi F là giao điểm của MN và BO.
Vì MN // AC nên áp dụng hệ quả của định lí Thales vào:
\(\Delta AOB\) có: \(\frac{{BF}}{{BO}} = \frac{{MF}}{{AO}}\)
\(\Delta BOC\) có: \(\frac{{BF}}{{BO}} = \frac{{NF}}{{OC}}\)
\( \Rightarrow \frac{{MF}}{{AO}} = \frac{{NF}}{{OC}} \Rightarrow \frac{{MF}}{{NF}} = \frac{{AO}}{{OC}} = 1 \Rightarrow MF = NF\) hay F là trung điểm của MN \( \Rightarrow \) BO đi qua trung điểm của MN. (đpcm)
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hàm số \(y = - 2x + 1\) (1).
a) Chứng minh các điểm \(A\left( {0;1} \right)\) và \(B\left( {\frac{3}{2}; - 2} \right)\) thuộc đồ thị của hàm số (1) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Biểu diễn A và B trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
c) Tìm tọa độ điểm C nằm trên trục hoành và thuộc đồ thị của hàm số (1) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Học sinh khối 8 ở một trường góp tiền để làm một album ca nhạc Tết Nguyên Đán 2024. Một phòng thu âm cho biết giá sản xuất đĩa gốc là 10 triệu đồng và mỗi đĩa in sao là 60 000 đồng.
a) Gọi x là số đĩa cần in sao và y là số tiền học sinh khối 8 phải trả (bao gồm tiền đĩa in sao và một đĩa gốc). Hãy biểu diễn y theo x. Hỏi y có phải là hàm số bậc nhất không? Vì sao?
b) Các bạn khối 8 cần góp bao nhiêu tiền để in được 150 đĩa sao và một đĩa gốc?
Giữa hai điểm \(B\) và \(C\) bị ngăn cách bởi hồ nước (như hình dưới). Hãy xác định độ dài \(BC\) mà không cần phải bơi qua hồ. Biết rằng đoạn thẳng \(KI\) dài \(30m\) và \(K\) là trung điểm của \(AB\), \(I\) là trung điểm của \(AC\).
Cho đường thẳng d: y = mx + m – 1. Tìm m để d cắt Ox tại A và cắt Oy tại B sao cho tam giác AOB vuông cân.
Một người cao 1,5 mét có bóng trên mặt đất dài 2,1 mét. Cùng lúc ấy, một cái cây gần đó có bóng trên mặt đất dài 4,2 mét. Tính chiều cao của cây.
Cho hình vẽ sau. Biết MN // BC, AM = 2cm, BM = 3cm, AN = 3cm. Độ dài đoạn thẳng NC bằng:
Cho tam giác ABC có P, Q lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết BC = 10cm. Ta có:
