Cho dãy số được xác định bởi: \({u_1} = 1;{u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right),n \in \mathbb{N}*\). Tính \({u_{2020}}\).
Sử dụng kiến thức về công thức số hạng tổng quát của dãy số.
Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right) = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{3}{{n + 2}} - \frac{2}{{n + 1}}} \right) = \frac{2}{3}{u_n} + \frac{1}{{n + 2}} - \frac{2}{3}.\frac{1}{{n + 1}}\)
\( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} = \frac{2}{3}\left( {{u_n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right)\) (1)
Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{1}{{n + 1}}\), từ (1) suy ra \({v_{n + 1}} = \frac{2}{3}{v_n}\)
Do đó, \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với \({v_1} = {u_1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\), công bội \(q = \frac{2}{3}\)
Suy ra: \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {u_n} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {u_n} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}} + \frac{1}{{n + 1}}\)
Vậy \({u_{2020}} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2019}} + \frac{1}{{2021}} = \frac{{{2^{2018}}}}{{{3^{2019}}}} + \frac{1}{{2021}}\)
