Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\cos ^2}x + 5\sin x + 1\) trên \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\).
Sử dụng kiến thức công thức: \({\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1\)
Ta có: \(y = 2{\cos ^2}x + 5\sin x + 1 = 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 5\sin x + 1 = - 2{\sin ^2}x + 5\sin x + 3\) (1)
Đặt \(\sin x = t\). Vì \(x \in \left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) nên \(t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\).
Thay \(\sin x = t\) vào (1) ta có: \(y = - 2{t^2} + 5t + 3\) với \(t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\)
Ta có bảng:
Từ bảng ta có:
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) là 6 khi \(t = 1\) hay \(x = \frac{\pi }{2}\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) là 5 khi \(t = \frac{1}{2}\) hay \(x = \frac{{5\pi }}{6}\)
