Cho hai số thực a và b thỏa mãn điều kiện \(\sin \left( {a + b} \right) - 2\cos \left( {a - b} \right) = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{1}{{2 - \sin 2a}} + \frac{1}{{2 - \sin 2b}}\).
Sử dụng công thức: \(\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2};\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)
\(A = \frac{1}{{2 - \sin 2a}} + \frac{1}{{2 - \sin 2b}} = \frac{{4 - \left( {\sin 2a + \sin 2b} \right)}}{{\left( {2 - \sin 2a} \right)\left( {2 - \sin 2b} \right)}} = \frac{{4 - \left( {\sin 2a + \sin 2b} \right)}}{{4 - 2\left( {\sin 2a + \sin 2b} \right) + \sin 2a.\sin 2b}}\)
Vì \(\sin \left( {a + b} \right) - 2\cos \left( {a - b} \right) = 0 \Rightarrow \sin \left( {a + b} \right) = 2\cos \left( {a - b} \right)\)
Ta có: \(4 - \left( {\sin 2a + \sin 2b} \right) = 4 - 2\sin \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) = 4 - 4{\cos ^2}\left( {a - b} \right) = 4{\sin ^2}\left( {a - b} \right)\)
Lại có: \(4 - 2\left( {\sin 2a + \sin 2b} \right) + \sin 2a.\sin 2b\)
\( = 4 - 4\sin \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) + \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2a - 2b} \right) - \cos \left( {2a + 2b} \right)} \right]\)
\( = 4 - 8{\cos ^2}\left( {a - b} \right) + \frac{1}{2}\left[ {2{{\cos }^2}\left( {a - b} \right) - 1 - 1 + 2{{\sin }^2}\left( {a + b} \right)} \right]\)
\( = 3 - 7{\cos ^2}\left( {a - b} \right) + {\sin ^2}\left( {a + b} \right) = 3 - 3{\cos ^2}\left( {a - b} \right) = 3{\sin ^2}\left( {a - b} \right)\)
Vậy \(A = \frac{{4{{\sin }^2}\left( {a - b} \right)}}{{3{{\sin }^2}\left( {a - b} \right)}} = \frac{4}{3}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Nếu một cung tròn có số đo là 20 độ thì số đo radian của nó là:
Chọn đáp án đúng
Nghiệm của phương trình \(\sin x = \sin \frac{\pi }{3}\) là:
Tập xác định của D của hàm số \(y = \cot x\) là:
Hàm số \(y = \tan x\)tuần hoàn với chu kì là:
Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành được cho bằng mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Tần số của nhóm \(\left[ {30;40} \right)\) là:
Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng?
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
Dãy số nào dưới đây được viết dưới dạng công thức của số hạng tổng quát?
Biết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = a > 0\). Chọn đáp án đúng
Hàm số nào sau đây liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{4}{n}\) bằng:
Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 3} \right)\) là:
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không có điểm chung. Kết luận nào sau đây là đúng?
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?
Hình chóp tứ giác có mặt bên là hình gì?
Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) thì:
Cho tứ diện ABCD. Chọn đáp án đúng.
Khảo sát thời gian tập thể dục trong một ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {60;80} \right)\) là:
