1. Giữa hai điểm \(B\) và \(C\) bị ngăn cách bởi hồ nước (như hình dưới). Hãy xác định độ dài \(BC\) mà không cần phải bơi qua hồ. Biết rằng đoạn thẳng \(KI\) dài \(30m\) và \(K\) là trung điểm của \(AB\), \(I\) là trung điểm của \(AC\).
2. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường trung tuyến \(AM\). Gọi \(H\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AB\), \(E\) là giao điểm của \(MH\) và \(AB\). Gọi \(K\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AC\), \(F\) là giao điểm của \(MK\) và \(AC\).
a) Các tứ giác \(AEMF\), \(AMBH\), \(AMCK\) là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh rằng \(H\) đối xứng với \(K\) qua \(A\).
c) Tam giác vuông \(ABC\) cần thêm điều kiện gì thì tứ giác \(AEMF\) là hình vuông?
- Dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác.
a) Tứ giác \(AEMF\) là hình chữ nhật. Các tứ giác \(AMBH\), \(AMCK\) là hình thoi.
b) Theo a) suy ra \(HA\parallel BC\), \(AK\parallel MC\) \( \Rightarrow \) \(H\), \(A\), \(K\) thẳng hàng. Lại có \(AH = AM = AK\) \( \Rightarrow \) \(H\), \(K\) đối xứng với nhau qua \(A\).
c) Để hình chữ nhật \(AEMF\) là hình vuông thì cần thêm điều kiện \(AE = EM\). \( \Rightarrow \) \(AB = AC\). Vậy tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\).
1.
Vì K là trung điểm của AB, I là trung điểm của AC nên KI là đường trung bình của tam giác ABC => KI // BC và KI = \(\frac{1}{2}\)BC.
Vì KI = 30 m nên BC = 2.KI = 2.30 = 60 m.
Vậy BC = 60 m.
2.
a) Ta có: \(H\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AB\), \(E\) là giao điểm của \(MH\) và \(AB\) => \(AB \bot HM\)(\(\widehat E = {90^0}\)) và HE = EM.
\(K\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AC\), \(F\) là giao điểm của \(MK\) và \(AC\)=> \(AC \bot MK\)(\(\widehat F = {90^0}\)) và MF = FK.
Tứ giác AEMF có: \(\widehat A = \widehat E = \widehat F = {90^0}\) (cmt) nên AEMF là hình chữ nhật (đpcm). Suy ra ME // AF; MF // AE.
Ta có: M là trung điểm của BC (vì AM là đường trung tuyến), ME // AC (cmt); MF // AE (cmt) => ME và MF là đường trung bình của tam giác ABC. => ME = \(\frac{1}{2}\)AC; MF = \(\frac{1}{2}\)AB. (1)
Mà ME = AF; MF = AE (vì AEMF là hình chữ nhật) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE = EB = \(\frac{1}{2}\)AB; AF = FC = \(\frac{1}{2}\)AC.
Xét tứ giác AMBH có: AE = EB; HE = EM và \(AB \bot HM\) tại E nên AMBH là hình thoi (đpcm).
Tương tự, tứ giác AMCK có: AF = FC; MF = FK và \(AC \bot MK\) tại F nên AMCK là hình thoi (đpcm).
b) Xét tứ giác BHKC có: BH // CK và BH = CK (cùng song song và bằng AM) nên BHKC là hình bình hành => BC // HK.
Vì AMBH và AMCK là hình thoi nên HA // BM, HA = BM; AK // CM, AK = CM.
Ta có BC // HK, BC // HA; BC // AK (cmt) => H, A, K thẳng hàng.
Mà AH = AK = BM = MC (vì M là trung điểm của BC) nên H đối xứng với K qua A.
c) Để AEMF là hình vuông thì AE = AF \( \Leftrightarrow \) \(\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AC\) hay AB = AC \( \Leftrightarrow \) tam giác ABC vuông cân tại A.
Vậy để AEMF là hình vuông thì tam giác ABC phải là tam giác cân.
Các bài tập cùng chuyên đề
Thu gọn đa thức \(2{x^4}y - 4{y^5} + 5{x^4}y - 7{y^5} + {x^2}{y^2} - 2{x^4}y\) ta được:
Đa thức \({{\mathop{\rm x}\nolimits} ^5} + 4{x^3} - 6{x^2}\) chia hết cho đơn thức nào?
Hình thang cân là hình thang
Cho tam giác ABC, qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB theo thứ tự ở E và F. Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì thì AEDF là chữ nhật?
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = \(\frac{1}{2}\)BC, đường trung tuyến AM. Tam giác ABM là tam giác gì?
Viết tỉ số cặp đoạn thằng có độ dài như sau: AB = 4dm; CD = 20dm.
Tìm giá trị của x trong hình vẽ?
Cho \(\Delta ABC\), AD là tia phân giác trong của góc A. Hãy chọn câu đúng.
Một số con vật sống trên cạn: Cá voi, chó, mèo , bò. Trong các dữ liệu trên, dữ liệu chưa hợp lí là:
Trong cuộc khảo sát tìm hiểu về cách học của học sinh khối 8 được kết quả như sau:
Có 50 % học sinh học qua đọc, viết.
Có 35 % học sinh học qua nghe
Có 10 % học sinh học qua vận động.
Có 5 % học sinh học qua quan sát.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \(2{x^2} + 6x\)
b) \({x^4} + 3{x^3} + x + 3\)
c) \(64 - {x^2} - {y^2} + 2xy\)
a) Rút gọn biểu thức sau:
\(A = \left( {x + 5} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} + x - 2} \right)\)
b) Tính nhanh: 742 + 242 – 48.74.
Biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn vốn sản xuất kinh doanh bình quân hàng năm của doanh nghiệp nhà nước của nước ta qua các năm 2015; 2017; 2018; 2019; 2020. (đơn vị: nghìn tỷ đồng)
(Nguồn: Niên giám thống kê 2021)
a) Lập bảng thống kê vốn sản xuất kinh doanh bình quân hàng năm của doanh nghiệp nhà nước của nước ta qua các năm 2015; 2017; 2018; 2019; 2020 theo mẫu sau:
|
Năm |
2015 |
2017 |
2018 |
2019 |
2020 |
|
Vốn (nghìn tỷ đồng) |
? |
? |
? |
? |
? |
b) Năm nào vốn sản xuất kinh doanh bình quân hàng năm của doanh nghiệp nhà nước của nước ta là nhiều nhất? ít nhất?
c) Năm 2020 vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước tăng bao nhiêu phần trăm so năm 2015 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
d) Năm 2017 vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước giảm bao nhiêu phần trăm so năm 2019 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Chứng minh biểu thức \(A = - {x^2} + \frac{2}{3}x - 1\) luôn luôn âm với mọi giá trị của biến
