Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Vẽ BH vuông góc với AC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AH, BH, CD.
a) Chứng minh tứ giác MNCP là hình bình hành.
b) Chứng minh MP vuông góc MB.
c) Gọi I là trung điểm của BP và J là giao điểm của MC và NP. Chứng minh rằng: MI – IJ < JP
a) Chứng minh tứ giác MNCP có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
b) Chứng minh N là trực tâm của tam giác CMB nên NC\( \bot \)MB\( \Rightarrow \) MP\( \bot \)MB (MP // CN).
c) Chứng minh MI = PI, sử dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh PI – IJ < JP hay MI – IJ < JP.
a) Xét tam giác AHB có:
M là trung điểm của AH
N là trung điểm của BH
=> MN là đường trung bình của tam giác AHB => MN // AB và MN = \(\frac{1}{2}\)AB.
Vì P là trung điểm của CD nên CP = PD = \(\frac{1}{2}\)CD.
Mà AB // CD; AB = CD (ABCD là hình chữ nhật) => CP = \(\frac{1}{2}\)AB.
=> MN // CP (cùng song song với AB) và MN = CP (\(\frac{1}{2}\)AB).
Do đó tứ giác MNCP là hình bình hành (đpcm)
b) Do MN // AB (cmt) mà AB \( \bot \) BC (ABCD là hình chữ nhật) nên MN \( \bot \) BC.
Ta có BH \( \bot \) MC (gt)
Mà MN \( \cap \) BH tại N.
=> N là trực tâm của tam giác CMB suy ra CN \( \bot \) BM.
Mà CN // PM (MNCP là hình bình hành)
=> PM \( \bot \) BM (đpcm)
c) Xét tam giác PMB vuông tại M có I là trung điểm của BP nên MI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác PMB => MI = \(\frac{1}{2}\)BP = PI.
Xét tam giác PIJ, ta có: PI – IJ < JP hay MI – IJ < JP (đpcm).
Các bài tập cùng chuyên đề
Thu gọn đa thức \(4{x^2}y + 6{x^3}{y^2} - 10{x^2}y + 4{x^3}{y^2}\) ta được
Giá trị của đa thức \(xy + 2{x^2}{y^3} - {x^4}y\) tại x = y = -1 là :
Tam giác ABC có đường trung tuyến AM = 2cm; cạnh BC = 4 cm. khi đó:
Một tứ giác có nhiều nhất :
Hình bình hành là một tứ giác có:
Cho tam giác ABC. AD là tia phân giác của góc A. Độ dài đoạn thẳng DB bằng
Cho tam giác ABC, vẽ MN//BC sao cho AN =\(\frac{1}{2}\)AB, M \( \in \) AB, N \( \in \) AC. Biết AN = 2cm, AM = 1cm, thì AC bằng:
Có bao nhiêu đường trung bình trong một tam giác?
Các món ăn yêu thích của học sinh lớp 8A ghi lại trong bảng sau :
Dữ liệu định lượng (số liệu) trong bảng là :
Một công ty kinh doanh vật liệu xây dựng có bốn kho hàng có 50 tấn hàng. Kế toán của công ty lập biểu đồ cột kép ở hình bên biểu diễn số lượng vật liệu đã xuất bán và số lượng vật liệu còn tồn lại trong mỗi kho sau tuần lễ kinh doanh đầu tiên.
Kế toán đã ghi nhầm số liệu của một kho trong biểu đồ cột kép đó. Theo em, kế toán đã ghi nhầm số liệu ở kho nào ?
Rút gọn các biểu thức:
a) \({(x + 1)^2} - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) - 10\)
b) \(\left( {x + 5} \right)\left( {{x^2} - 5x + 25} \right) - x{\left( {x - 4} \right)^2} + 16x\)
c) \({\left( {x - 2y} \right)^3} - \left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \right) + 6{x^2}y\)
Tìm x, biết:
a) \({\left( {x + 3} \right)^2} - \left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) = 4x + 17\)
b) \(\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right) - x\left( {{x^2} - 4} \right) = 1\)
Thống kê số lượt hành khách vận chuyển bằng đường bộ ở Hải Phòng trong các năm 2018; 2019; 2020; 2021; 2022 lần lượt là 55,02; 62,00; 64,20; 57,14; 67,71. (đơn vi : triệu lượt người). (Nguồn : Niên giám thống kê 2023)
a) Lập bảng thống kê số lượt hành khách vận chuyển bằng đường bộ ở Hải Phòng trong các năm theo mẫu sau:
b) Hãy hoàn thiện biểu đồ ở hình bên để nhận được biểu đồ cột biểu diễn các dữ liệu thống kê số lượt hành khách vận chuyển bằng đường bộ ở Hải Phòng trong các năm trên.
Cho các số x, y thoả mãn đẳng thức \(5{x^2} + 5{y^2} + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0\).
Tính giá trị của biểu thức M = \({(x + y)^{2017}} + {(x - 2)^{2018}} + {(y + 1)^{2019}}\)
