Đề bài
Rút gọn \(S = 1 + {\cos ^2}x + {\cos ^4}x + {\cos ^6}x + .... + {\cos ^{2n}}x + ...\)với \(\cos x \ne \pm 1\)
-
A.
\(S = {\sin ^2}x\)
-
B.
\(S = {\cos ^2}x\)
-
C.
\(S = \frac{1}{{\sin x}}\)
-
D.
\(S = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
Phương pháp giải
Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\): \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)
Lời giải của GV Loigiaihay.com
Vì \( - 1 \le \cos x \le 1,\,\cos x \ne \pm 1 \Rightarrow - 1 < \cos x < 1\)
Do đó \(1,\,{\cos ^2}x,{\cos ^4}x,{\cos ^6}x,....,{\cos ^{2n}}x,...\) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q =\({\cos ^2}x.\)
Do đó:
\(S = 1 + {\cos ^2}x + {\cos ^4}x + {\cos ^6}x + .... + {\cos ^{2n}}x + ... = \frac{1}{{1 - {{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
Đáp án : C
