Giá trị của biểu thức \(\frac{{\cos \frac{\pi }{{17}}\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{\cos \frac{{3\pi }}{{17}} + \cos \frac{{5\pi }}{{17}}}}\) bằng:
-
A.
\( - \frac{1}{2}\)
-
B.
-1
-
C.
1
-
D.
\(\frac{1}{2}\)
Áp dụng:
+ Công thức biến đổi tổng thành tích:
\(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\).
+ Công thức liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:
\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\); \(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\).
Ta có:
\(\frac{{\cos \frac{\pi }{{17}}\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{\cos \frac{{3\pi }}{{17}} + \cos \frac{{5\pi }}{{17}}}} = \frac{{\cos \frac{\pi }{{17}}\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{3\pi + 5\pi }}{{17.2}}\cos \frac{{3\pi - 5\pi }}{{17.2}}}}\)
\(\frac{{\cos \frac{\pi }{{17}}\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}\cos \left( { - \frac{\pi }{{17}}} \right)}} = \frac{{\cos \frac{\pi }{{17}}\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}\cos \frac{\pi }{{17}}}} \)
\(= \frac{{\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}}} = \frac{{\cos \left( {\pi - \frac{{4\pi }}{{17}}} \right)}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}}} \)
\(= \frac{{ - \cos \frac{{4\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}}} = - \frac{1}{2}\).
Đáp án : A
