Cho \(\sin \left( \alpha \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Tính giá trị của \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\)
-
A.
\(\frac{{\sqrt 3 }}{6} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
-
B.
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{1}{2}\)
-
C.
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{1}{2}\)
-
D.
\(\frac{{\sqrt 3 }}{6} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Sử dụng công thức cộng: \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)
Ta có \(\sin \left( \alpha \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) , \({\sin ^2}\left( \alpha \right) + {\cos ^2}\left( \alpha \right) = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\left( \alpha \right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \left( \alpha \right) > 0 \Rightarrow \cos \left( \alpha \right) = \sqrt {\frac{2}{3}} \)
\( \Rightarrow \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( \alpha \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) + \cos \left( \alpha \right)\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2} + \sqrt {\frac{2}{3}} .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Đáp án : D
