Cho hình chóp \(S.ABC\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,BC\) và \(P\) là điểm nằm trên cạnh \(AB\) sao cho \(AP = \frac{1}{3}AB\). Gọi \(Q\) là giao điểm của \(SC\) và \(\left( {MNP} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{SQ}}{{SC}}\)
-
A.
\(\frac{{SQ}}{{SC}} = \frac{2}{5}\).
-
B.
\(\frac{{SQ}}{{SC}} = \frac{2}{3}\).
-
C.
\(\frac{{SQ}}{{SC}} = \frac{1}{3}\).
-
D.
\(\frac{{SQ}}{{SC}} = \frac{3}{8}\).
Kẻ thêm đường thẳng song song với đường thẳng đã cho rồi áp dụng định lý Talet
Áp dụng định lý Menelaus:: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi
\(\frac{{FA}}{{FB}}.\frac{{BD}}{{DC}}.\frac{{CE}}{{EA}} = 1\)
Gọi \(I\) là giao điểm của \(NP\) và \(AC \Rightarrow I \in \left( {MNP} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {MNP} \right)\\I \in \left( {MNP} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow IM \subset \left( {MNP} \right)\)
Gọi \(Q\) là giao điểm của \(IM\) và \(SC\).
\( \Rightarrow Q \in \left( {MNP} \right)\)
Vậy \(Q = SC \cap \left( {MNP} \right)\)
Từ \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\), cắt \(IN\) tại \(K\).
Khi đó \(\frac{{AK}}{{BN}} = \frac{{AP}}{{BP}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{AK}}{{CN}} = \frac{1}{2}\).
Từ \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(SC\), cắt \(IQ\) tại \(E\).
Khi đó \(\frac{{AE}}{{SQ}} = \frac{{AM}}{{SM}} = 1 \Rightarrow AE = SQ\), \(\frac{{AE}}{{CQ}} = \frac{{IA}}{{IC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow AE = \frac{1}{2}CQ\). Do đó \(\frac{{SQ}}{{SC}} = \frac{1}{3}\).
Đáp án : C
Danh sách bình luận