Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(2\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Cắt tứ diện bởi mặt phẳng \(\left( {GCD} \right)\). Tính diện tích của thiết diện.
-
A.
\(\sqrt 3 \).
-
B.
\(2\sqrt 3 \).
-
C.
\(\sqrt 2 \).
-
D.
\(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Muốn tìm thiết diện của một hình chóp với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho trước, ta cần tìm các “đoạn giao tuyến” của \(\left( \alpha \right)\) với các mặt của hình chóp. Thiết diện cần tìm chính là đa giác giới hạn với các đoạn giao tuyến vừa tìm được.
Diện tích tam giác
\(S = \sqrt {p(p - AB)(p - AC)(p - BC)} ;\,\,p = \frac{{AB + AC + BC}}{2}\)
Gọi \(CG \cap AB = M\) \( \Rightarrow M\) là trung điểm \(AB\).
Dễ thấy:
\(\left( {GCD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = CM\)
\(\left( {GCD} \right) \cap \left( {ABD} \right) = DM\)
\(\left( {GCD} \right) \cap \left( {ACD} \right) = DC\)
Khi đó cắt tứ diện bởi mặt phẳng \(\left( {GCD} \right)\) ta được thiết diện là \(\Delta MCD\).
Ta có tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(2\)\( \Rightarrow MC = MD = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \); \(CD = 2\).
Khi đó nửa chu vi \(\Delta MCD\): \(p = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 3 + 2}}{2} = 1 + \sqrt 3 \).
Nên \({S_{\Delta MCD}} = \sqrt {p\left( {p - MC} \right)\left( {p - MD} \right)\left( {p - CD} \right)} = \sqrt 2 \).
Đáp án : C
